《机械振动第2章节节[习题]》由会员分享,可在线阅读,更多相关《机械振动第2章节节[习题](21页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1第二章 单自由度系统习题2.1 弹簧下悬挂一物体,弹簧静伸长为 。设将物体向下拉,使弹簧有静伸长 3 ,然后无初速度地释放,求此后的运动方程。解: =g/2n运动微分方程(式 2.5): + x=0x2n初始条件:x(0)=3 , (0)=0由式 2.8 有:A= =32020)(n+=arctg =0nx0由式 2.7 有:响应:x=3 cos( t)g2.2 弹簧不受力时长度为 65cm,下端挂上 1kg 物体后弹簧长 85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放,试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。解: =g/ =9.8/0.2=492n运动微分方程(式 2.5)
2、: + x=0x2n初始条件:x(0)=-0.2, (0)=02由式 2.8 有:振幅:A= =0.22020)(nx+=arctg =0n0由式 2.7 有:响应:x=0.2cos(7t)周期:T=2 /n弹簧刚度:k=mg/ =19.8/0.2=49(N/m)最大弹簧力:F Smax=-kA=-490.2=9.8(N)2.3 重物 ml 悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物 m2 从高度为 h 处自由落到 ml 上而无弹跳,如图T2.3 所示,求其后的运动。图 T2.3解: =k/(m1+m2)2n运动微分方程(式 2.5): + x=0x2n初始条件:x(0)=- m 2
3、g/km2gh= (m1+m2) 2(0) (0)x(以下略)32.4 一质量为 m、转动惯量为 I 的圆柱体作自由纯滚动,圆心受到一弹簧 k 约束,如图 T2.4 所示,求系统的固有频率。图 T2.4解:系统的势能:U= kr221系统的动能:E t= I 2+ mr2 2由 d(U+Et)=0 得: ( I+ mr2) +kr2=0 =2n2mrIk+2.5 均质杆长 L、重 G,用两根长 h 的铅垂线挂成水平位置,如图 T2.5 所示,试求此杆相对铅垂轴 OO 微幅振动的周期。图 T2.5解:系统的势能:U= k( a)2+ k( a)2= ka221141系统的动能:E t= I 2由
4、 d(U+Et)=0 得:I + ka2=04 =2nIkaT=2/n2.6 求如图 T2.6 所示系统的周期,三个弹簧都成铅垂,且 k22k 1,k 3=k1。图 T2.6解:设 k1=k则 = + = + k12= k122132系统的势能:U= k12x2+ k3x2= kx265系统的动能:E t= m 21由 d(U+Et)=0 得:m + kx=0x3 =2nk35T=2/n2.7 如图 T2.7 所示,半径为 r 的均质圆柱可在半径为 R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置 O 为平衡位置左右微摆,试导出柱体的摆动方程,求其固有频率。5图 T2.7解:系统的势能:U=mg(R-r
5、)(1-cos)= mg(R-r)221说明 : mg(R-r)2 为重心变化引起的势能;21由于重心变化引起的势能为:mg(R-r) (1-cos) ;由三角函数的的倍角公式:cosa=1-2sin 2( a/2) ,且 当 a 很小时 , sina acos=1-2sin2( /2) =1-2( /2) 2=1-2/2 mg(R-r)(1-cos)= mg(R-r)21系统的动能:E t= m(R-r)2 2+ I( ) 2 211rR说明 :圆柱质心点的速度:(R-r) =r = r由 d(U+Et)=0 得柱体的摆动方程:m(R-r)2+ I( ) 2 + mg(R-r)=0rR对于均
6、质圆柱: I= mr216m(R-r)2 + mg(R-r)=03 = 2g/3(R-r)22n2.8 横截面面积为 A,质量为 m 的圆柱形浮子静止在比重为 的液体中。设从平衡位置压低距离 x(见图 T2.8),然后无初速度地释放,若不计阻尼,求浮子其后的运动。图 T2.8解:建立如图所示坐标系,系统平衡时 ,由牛顿第二定0x律得: mx+(Ax)g=0有: =2nmAg初始条件为:x 0=x, 0=0 x所以浮子的响应为: ()sin()2Agttm2.9 求如图 T2.9 所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴 O1,O 2 转动,它们相互啮合,不能相对滑动,在图示位置(半
7、径 O1A 与 O2B 在同一水平线上),弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘,质量分别为m1,m 2。7图 T2.9解:设盘 1 转角为 1,令 i=1/2,则系统的动能:E T = I1 2+ I2 2= I1i2 2+ I2 2= ( i2 I1+ I2) 2系统的势能:U= k1r1212+ k2r2222= (i2k1r12+ k2r22)22由 d(U+Et)=0 得: ( i2 I1+ I2) +(i2k1r12+ k2r22) 2=0 =(i2k1r12+ k2r22)/ ( i2 I1+ I2)nT=2/n2.10 如图 T2.10 所示,轮子可绕水平轴转动,对转轴的转动惯
8、量为 I,轮缘绕有软绳,下端挂有重量为 P 的物体,绳与轮缘之间无滑动。在图示位置,由水平弹簧维持平衡。半径 R 与 a 均已知,求微振动的周期。图 T2.10解:系统的势能:U= ka22(未计重力势能)18系统的动能:E t= I2+ mR2 21由 d(U+Et)=0 得: ( I+ mR2) +ka2=0 =2n2mRIka+m=P/gT=2/n2.11 弹簧悬挂一质量为 m 的物体,自由振动的周期为 T,如果在 m 上附加一个质量 m1,则弹簧的静伸长增加l,求当地的重力加速度。解: T=2/n n=2/T =k/mk=m =42 m /T2nk =(m+m1)gl=m1g/kg=l
9、k/m1=42 ml (/T2m1)2.12 用能量法求图 T2.12 所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重 P,( b)与(c )中每个弹簧的弹性系数为 k/2。(1)杆重不计;(2)若杆质量均匀,计入杆重。图 T2.12解:(1) 杆重不计9(a)系统的势能:U=PL(1-cos)= PL21系统的动能:E t= mL2 21由 d(U+Et)=0 得: mL2 +PL=0 =PL/( mL2)=mgL/( mL2)=g/L2n(b)系统的势能:U= PL2+2 a22= (PL+k a2) 211k1系统的动能:E t= mL2 2由 d(U+Et)=0 得: mL2 +(PL+k a2
10、) =0 =(PL+k a2)/( mL2)2n(c)同(b)(2)杆质量均匀,计入杆重(略)2.13 求如图 T2.13 所示系统的等效刚度,并把它写成与x 的关系式。图 T2.1310解:系统的势能:U= kx2+ k x2= kx21ba1b2)(+系统的动能:E t= m 2x由 d(U+Et)=0 得: m + kx=02)(系统的等效刚度: kba2)2.14 一台电机重 470N,转速为 1430rmin,固定在两根5 号槽钢组成的简支梁的中点,如图 T2.14 所示。每根槽钢长 1.2m,重 65.28N,弯曲刚度 EI1.66 105Nm2。(a)不考虑槽钢质量,求系统的固有
11、频率;(b)设槽钢质量均布,考虑分布质量的影响,求系统的固有频率;(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。图 T2.142.15 一质量 m 固定于长 L,弯曲刚度为 EI,密度为 的弹性梁的一端,如图 T2.15 所示,试以有效质量的概念计算其固有频率。11图 T2.152.16 见图 T2.16。求等截面 U 形管内液体振动的周期,阻力不计,假定液柱总长度为 L。图 T2.16解:设 U 形管内液柱长 L,截面积为 A,密度为 ,取系统静平衡时势能为 0,左边液面下降 x 时,有:系统的势能:U= A2xgx系统的动能:E T= AL 21由 d(U+ET)=0 得: AL +4Agx=
12、0x =2nLg4T=2/n217 水箱 l 与 2 的水平截面面积分别为 A1、A 2,底部用截面为 A0 的细管连接。求液面上下振动的固有频率(图 T2.17)。12图 T2.172.18 如图 T2.18 所示,一个重 W、面积为 A 的薄板悬挂在弹簧上,使之在粘性液体中振动。设 T1、T 2 分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明: 221TgA并指出 的意义(式中液体阻尼力 Fd=2Av)。图 T2.18证明:对于无阻尼自由振动:T 1=2/n=2/ =2 mkgWk=42W/(gT ) (1)21对于有阻尼对于无阻尼的振动: d= n, 即有:21T2= T1/ =
13、2212_T阻尼力:F d=2Av=cx, v= x = c/2A又(式 2.26) : c=2 mk13 =2 /(2A)= /A= /A (2)mkk212_Tmk将 ( 1) 式和 m=W/g 代入 ( 2) 式,即有: 221TgAW证明完毕。2.19 试证明:对数衰减率也可用下式表示 nx0l1(式中 xn 是经过 n 个循环后的振幅 )。并给出在阻尼比 为 0.0l、0.1、0.3 时振幅减小到 50%以下所需要的循环数。证明:设系统阻尼自由振动的响应为 。()xt时刻的位移为 ; 时刻的位移为 ;0t 0x0ntTnx由式(2.36)有: 000 0()cos()n ndndt
14、TdtTn dxXetenT ,即:0 01l lndnxxnx0l1(参见式 2.41)当振幅衰减到 50%时, ,即:0.5nx211ln21)当 时, ;要 11 个循环;0.1n142)当 时, ;要 2 个循环;0.11.n3)当 时, ;要 1 个循环;30342.20 某双轴汽车的前悬架质量为 m1=1151kg,前悬架刚度为 k1=1.02 105Nm,若假定前、后悬架的振动是独立的,试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比=0.25,那么应给前悬架设计多大阻尼系数 (c)的悬架减振器?2.21 重量为 P 的物体,挂在弹簧的下端,产生静伸长 ,在上下运动时所遇到的阻
15、力与速度 v 成正比。要保证物体不发生振动,求阻尼系数 c 的最低值。若物体在静平衡位置以初速度 v0 开始运动,求此后的运动规律。解:设系统上下运动为 x 坐标系,系统的静平衡位置为原点,系统的运动微分方程为:+c + x=0gPx系统的阻尼比: 2ccmkPg系统不振动条件为: ,即:12/cg物体在平衡位置以初速度 开始运动,即初始条件为:00x此时系统的响应为:(可参考教材 P22)151)当 时:122111()( )nnnt ttxteAe其中:0,22nng2) 当 时: ,其中:112()nnttxtAe120A即: 0()ntt3) 当 时: 112()(cosin)ntddxteCtt其中: ,即:202/1ddnC