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1、1第二章 单自由度系统习题2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为 。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长 3 ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解： =g/2n运动微分方程（式 2.5）： + x=0x2n初始条件：x(0)=3 , (0)=0由式 2.8 有：A= =32020)(n+=arctg =0nx0由式 2.7 有：响应：x=3 cos( t)g2.2 弹簧不受力时长度为 65cm，下端挂上 1kg 物体后弹簧长 85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。解： =g/ =9.8/0.2=492n运动微分方程（式 2.5）
2、： + x=0x2n初始条件：x(0)=-0.2, (0)=02由式 2.8 有：振幅：A= =0.22020)(nx+=arctg =0n0由式 2.7 有：响应：x=0.2cos(7t)周期：T=2 /n弹簧刚度：k=mg/ =19.8/0.2=49(N/m)最大弹簧力：F Smax=-kA=-490.2=9.8(N)2.3 重物 ml 悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物 m2 从高度为 h 处自由落到 ml 上而无弹跳，如图T2.3 所示，求其后的运动。图 T2.3解： =k/(m1+m2)2n运动微分方程（式 2.5）： + x=0x2n初始条件：x(0)=- m 2
3、g/km2gh= (m1+m2) 2(0) (0)x(以下略)32.4 一质量为 m、转动惯量为 I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧 k 约束，如图 T2.4 所示，求系统的固有频率。图 T2.4解：系统的势能：U= kr221系统的动能：E t= I 2+ mr2 2由 d(U+Et)=0 得： （ I+ mr2） +kr2=0 =2n2mrIk+2.5 均质杆长 L、重 G，用两根长 h 的铅垂线挂成水平位置，如图 T2.5 所示，试求此杆相对铅垂轴 OO 微幅振动的周期。图 T2.5解：系统的势能：U= k( a)2+ k( a)2= ka221141系统的动能：E t= I 2由
4、 d(U+Et)=0 得：I + ka2=04 =2nIkaT=2/n2.6 求如图 T2.6 所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且 k22k 1，k 3=k1。图 T2.6解：设 k1=k则 = + = + k12= k122132系统的势能：U= k12x2+ k3x2= kx265系统的动能：E t= m 21由 d(U+Et)=0 得：m + kx=0x3 =2nk35T=2/n2.7 如图 T2.7 所示，半径为 r 的均质圆柱可在半径为 R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置 O 为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。5图 T2.7解：系统的势能：U=mg(R-r
5、)(1-cos)= mg(R-r)221说明 ： mg(R-r)2 为重心变化引起的势能；21由于重心变化引起的势能为：mg(R-r) (1-cos) ；由三角函数的的倍角公式：cosa=1-2sin 2（ a/2） ，且 当 a 很小时 ， sina acos=1-2sin2（ /2） =1-2（ /2） 2=1-2/2 mg(R-r)(1-cos)= mg(R-r)21系统的动能：E t= m(R-r)2 2+ I（ ） 2 211rR说明 ：圆柱质心点的速度:(R-r) =r = r由 d(U+Et)=0 得柱体的摆动方程：m(R-r)2+ I（ ） 2 + mg(R-r)=0rR对于均
6、质圆柱： I= mr216m(R-r)2 + mg(R-r)=03 = 2g/3(R-r)22n2.8 横截面面积为 A，质量为 m 的圆柱形浮子静止在比重为 的液体中。设从平衡位置压低距离 x(见图 T2.8)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。图 T2.8解：建立如图所示坐标系，系统平衡时 ，由牛顿第二定0x律得： mx+(Ax)g=0有： =2nmAg初始条件为：x 0=x， 0=0 x所以浮子的响应为： ()sin()2Agttm2.9 求如图 T2.9 所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴 O1，O 2 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半
7、径 O1A 与 O2B 在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m1，m 2。7图 T2.9解：设盘 1 转角为 1，令 i=1/2，则系统的动能：E T = I1 2+ I2 2= I1i2 2+ I2 2= ( i2 I1+ I2) 2系统的势能：U= k1r1212+ k2r2222= (i2k1r12+ k2r22)22由 d(U+Et)=0 得： ( i2 I1+ I2) +(i2k1r12+ k2r22) 2=0 =(i2k1r12+ k2r22)/ ( i2 I1+ I2)nT=2/n2.10 如图 T2.10 所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯
8、量为 I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为 P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径 R 与 a 均已知，求微振动的周期。图 T2.10解：系统的势能：U= ka22(未计重力势能)18系统的动能：E t= I2+ mR2 21由 d(U+Et)=0 得： （ I+ mR2） +ka2=0 =2n2mRIka+m=P/gT=2/n2.11 弹簧悬挂一质量为 m 的物体，自由振动的周期为 T，如果在 m 上附加一个质量 m1，则弹簧的静伸长增加l，求当地的重力加速度。解： T=2/n n=2/T =k/mk=m =42 m /T2nk =(m+m1)gl=m1g/kg=l
9、k/m1=42 ml (/T2m1)2.12 用能量法求图 T2.12 所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重 P，( b)与(c )中每个弹簧的弹性系数为 k/2。(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。图 T2.12解：(1) 杆重不计9(a)系统的势能：U=PL(1-cos)= PL21系统的动能：E t= mL2 21由 d(U+Et)=0 得： mL2 +PL=0 =PL/( mL2)=mgL/( mL2)=g/L2n(b)系统的势能：U= PL2+2 a22= (PL+k a2) 211k1系统的动能：E t= mL2 2由 d(U+Et)=0 得： mL2 +(PL+k a2
10、) =0 =(PL+k a2)/( mL2)2n(c)同(b)(2)杆质量均匀，计入杆重（略）2.13 求如图 T2.13 所示系统的等效刚度，并把它写成与x 的关系式。图 T2.1310解：系统的势能：U= kx2+ k x2= kx21ba1b2)(+系统的动能：E t= m 2x由 d(U+Et)=0 得： m + kx=02)(系统的等效刚度： kba2)2.14 一台电机重 470N，转速为 1430rmin，固定在两根5 号槽钢组成的简支梁的中点，如图 T2.14 所示。每根槽钢长 1.2m，重 65.28N，弯曲刚度 EI1.66 105Nm2。(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有
11、频率；(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。图 T2.142.15 一质量 m 固定于长 L，弯曲刚度为 EI，密度为 的弹性梁的一端，如图 T2.15 所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。11图 T2.152.16 见图 T2.16。求等截面 U 形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为 L。图 T2.16解：设 U 形管内液柱长 L，截面积为 A，密度为 ，取系统静平衡时势能为 0，左边液面下降 x 时，有：系统的势能：U= A2xgx系统的动能：E T= AL 21由 d(U+ET)=0 得： AL +4Agx=
12、0x =2nLg4T=2/n217 水箱 l 与 2 的水平截面面积分别为 A1、A 2，底部用截面为 A0 的细管连接。求液面上下振动的固有频率(图 T2.17)。12图 T2.172.18 如图 T2.18 所示，一个重 W、面积为 A 的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。设 T1、T 2 分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明： 221TgA并指出 的意义(式中液体阻尼力 Fd=2Av)。图 T2.18证明：对于无阻尼自由振动：T 1=2/n=2/ =2 mkgWk=42W/(gT ) (1)21对于有阻尼对于无阻尼的振动： d= n， 即有：21T2= T1/ =
13、2212_T阻尼力：F d=2Av=cx， v= x = c/2A又（式 2.26） ： c=2 mk13 =2 /(2A)= /A= /A (2)mkk212_Tmk将 （ 1） 式和 m=W/g 代入 （ 2） 式，即有： 221TgAW证明完毕。2.19 试证明：对数衰减率也可用下式表示 nx0l1(式中 xn 是经过 n 个循环后的振幅 )。并给出在阻尼比 为 0.0l、0.1、0.3 时振幅减小到 50%以下所需要的循环数。证明：设系统阻尼自由振动的响应为 。()xt时刻的位移为 ； 时刻的位移为 ；0t 0x0ntTnx由式（2.36）有： 000 0()cos()n ndndt
14、TdtTn dxXetenT ，即：0 01l lndnxxnx0l1（参见式 2.41）当振幅衰减到 50%时， ，即：0.5nx211ln21)当 时， ；要 11 个循环；0.1n142)当 时， ；要 2 个循环；0.11.n3)当 时， ；要 1 个循环；30342.20 某双轴汽车的前悬架质量为 m1=1151kg，前悬架刚度为 k1=1.02 105Nm，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比=0.25，那么应给前悬架设计多大阻尼系数 (c)的悬架减振器?2.21 重量为 P 的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长 ，在上下运动时所遇到的阻
15、力与速度 v 成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数 c 的最低值。若物体在静平衡位置以初速度 v0 开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为 x 坐标系，系统的静平衡位置为原点，系统的运动微分方程为：+c + x=0gPx系统的阻尼比： 2ccmkPg系统不振动条件为： ，即：12/cg物体在平衡位置以初速度 开始运动，即初始条件为：00x此时系统的响应为：（可参考教材 P22）151)当 时：122111()( )nnnt ttxteAe其中：0,22nng2) 当 时： ，其中：112()nnttxtAe120A即： 0()ntt3) 当 时： 112()(cosin)ntddxteCtt其中： ，即：202/1ddnC
