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1、高考立体几何大题及答案1.（2009全国卷文）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。 （I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。 2.（2009全国卷文）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1（）证明：AB=AC （）设二面角A-BACBA1B1C1DED-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小 3.（2009浙江卷文）如图，平面，分别为的中点（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值4.（2009北京卷文）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB
2、所成的角的大小.5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.6.（2009安徽卷文）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，（）证明：直线垂直且平分线段AD：. （）若EAD=EAB=60，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离8.（2
3、009四川卷文）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证： （III）求二面角的大小。9.（2009湖北卷文）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点，且DEa(01). ()求证：对任意的（0、1），都有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。10.（2009湖南卷文）如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值。11.（2009辽宁卷文）如图，已知两个正方形AB
4、CD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若CD2，平面ABCD 平面DCEF，求直线MN的长；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 12.（2009四川卷文）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证： （III）求二面角的大小。13.（2009陕西卷文）如图，直三棱柱中， AB=1，ABC=60.()证明：；CBAC1B1A1（）求二面角AB的大小。 14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 （）证明：ABPC（）若，且平面平
5、面， 求三棱锥体积。15.（2009福建卷文）如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： （）求三棱锥的侧面积。16.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体中，四边形为平行四边形，平面，求：（）直线到平面的距离；（）二面角的平面角的正切值17.(2009年广东卷文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面PEG参考答案1、【解析】（I）解法一：作交于N，作交于
6、E，连ME、NB，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而 M为侧棱的中点M. 解法二:过作的平行线.（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作交于,作交于,作交于,则,面,面面,面即为所求二面角的补角.法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，则。SABCDMzxy（）设，则，由题得，即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。 法2：设，则又故，即，解得，所以是侧
7、棱的中点。（）由（）得，又，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即， 二面角的大小。2、解法一：（）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF/DE。又DE平面，故AF平面，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=600. 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四边形ADEF为正方形。因为BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因
8、此平面BCD平面DEF。连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD。连接CH，则ECH为与平面BCD所成的角。. 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.解法二：（）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）设平面BCD的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1,
9、 z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60知，=60，故 ，求得 于是 ， ， 所以与平面所成的角为303、（）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ，所以4、【解法1】（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）设ACBD=O
10、，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， O，E分别为DB、PB的中点， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.5、6、【解析】(1)由于EA=ED且点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.又ABCD是四方形线段B
11、C的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点EF都居线段AD的垂直平分线上. . 所以,直线EF垂直平分线段AD.(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分.设AD中点为M,在RtMEE中,由于ME=1, .ABCD又BCF=VCBEF=VCBEA=VEABC多面体ABCDEF的体积为VEABCDVEBCF=7、解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且
12、 所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为. （3）设所求距离为，由，得：8、【解析】解法一：因为平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即EFBE.因为BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 6分（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC PMNC为平行四边形,所以PMCN. CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, PM平面BCE.
