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1、函数的单调性和奇偶性一. 教学内容函数的单调性和奇偶性二. 重、难点重点:函数单调增、减区间的意义,应用定义判断函数的单调性,奇偶性。难点:证明函数的单调性【典型例题】例1 如果函数在上是减函数,求a的取值范围。解:对称轴,由得例2 判断函数()在R上的单调性解:设、且则 当时,当时,和中必有之一不为0( ) 当时,在上面讨论结合(1)和(2)有 函数在R上是减函数例3 已知函数,在R上是增函数,求证:在R上也是增函数。证:任取,且则因为在R上是增函数 所以 又 在R上是增函数 在R上是增函数结论:同增异减:与增减性相同(反),函数是增(减)函数。例4 求函数的单调区间解:首先确定义域: 在和
2、两个区间上分别讨论任取、且则要确定此式的正负只要确定的正负即可这样,又需判断大于1还是小于1,由于的任意性。考虑到要将分为与(1)当时, 为减函数(2)当, 时, 为增函数同理(3)当时,为减函数(4)当时,为增函数例5 判断下列函数是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)(5)注:对于定义域内的任意一个,都有成立,则称为偶函数。 对于定义域内的任意一个,都有成立,则称为奇函数。解:(1)函数与定义域为R 为奇函数(2)函数的定义域为R又 为偶函数(3)函数的定义域为 为非奇非偶函数(4)函数的定义域为,此时 既是奇函数又是偶函数(5)由得,知定义域关于原点不对称 既不是奇函数也不是偶函数例6
3、函数在上为奇函数,且当时,则当时,求的解析式。解:设则 又 在R上为奇函数 当时, 例7 设为奇函数,且在定义域上为减函数,求满足的实数a的取值范围。解:由为奇函数知: 由是减函数知: 解得例8 设是定义在上的增函数,且,求满足不等式的的取值范围。解: 又 化为 解得【模拟试题】一. 选择题1. ,当时递增 ,当时递减,则的值等于( )A. 13 B. 1 C. 21 D. 2. 若奇函数的图象过点,则必过点( )A. B. C. D. 3. 函数在,上都是增函数,则的取值范围( )A. B. C. D. 4. 在上是增函数,则的增区间是( )A. B. C. D. 二. 填空题1. 函数的递
4、增区间是 。2. 若函数是R上的增函数,且对一切都成立,则实数a的取值范围是 。3. 已知,则 。4. 若是奇函数,则函数,的图象关于 对称。三. 解答题1. 已知是偶函数,在上是增函数,那么在上是增函数,还是减函数?并加以证明。2. 函数在上单调递增,求实数a的取值范围。3. 定义在上的偶函数,当时,单调递减,若,求的取值范围。【试题答案】一.1. C 2. D 3. D 4. B二.1. 2. 3. 31 4. 轴三.1. 设由于是偶函数,则, 由假设可知,且 又已知在上是增函数,则 将代入 得即 故在上是减函数2. 解: 在上单调递增 设 则 即3. 解: 为定义在上的偶函数,且当时递减 在时递增 黄褐色,湿,软塑可塑,含少量粉粒,稍有光泽,无摇振反应,干强度中等,分布于卵石层之上。稍密,该层有轻微摇震反应,干强度较差,部分地段接近与粉砂。部分地段分布,主要分布与砂卵石之上