《高中数学经典题型50道(另附详细答案).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学经典题型50道(另附详细答案).doc（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学习题库（50道题另附答案）1. 求下列函数的值域： 解法2 令tsinx，则f(t)t2t1， |sinx|1, |t|1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间1,1上的最值 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距万千
2、米和万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为，求该慧星与地球的最近距离。解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点处，椭圆的方程为（图见教材P132页例1）。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足。作故由椭圆第二定义可知得两式相减得答：彗星与地球的最近距离为万千米。说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是，另一个是（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用
3、问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3. A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6，C在B正北偏西，相距4，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1，A若炮击P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）解：如图，以直线BA为轴，线段BA的中垂线为轴建立坐标系，则，因为，所以点P在线段BC的垂直平分线上。因为，BC中点，所以直线PD的方程为（1）又故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设，则双曲线方程为（2）。联立（1）（2），得，所以因
4、此，故炮击的方位角北偏东。说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为。将B（4,-5）代入得P=1.6船两侧与抛物线接触时不能通过则A(2,yA)，由22=-3.2 yA得yA = - 1.25因为船露出水面的部分高0.75米所以h=yA+0.75=2米答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行思维点拔注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线
5、方程解决实际问题的技巧。5. 如图所示，直线和相交于点M，点，以A、B为端点的曲线段C上任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。解：以直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。设曲线段C的方程为，其中为A、B的横坐标，所以，由，得（1）（2），（1）（2）联立解得，代入（1）式，并由解得，因为为锐角三角形，所以，故舍去，所以由点B在曲线段C上，得，综上，曲线段C的方程为思维点拔本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤
6、，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6. 设抛物线的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，AB为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。（1）求AM+AN的值（2）是否存在实数a，恰使AMAPAN成等差数列？若存在，求出a，不存在，说明理由。解：(1)设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M,N,P.AM+AN=MM+NN=xM+xN+2a 又圆方程将代入得得AM+AN=8(2)假设存在a因为AM+AN=MM+NN=2PP所以AP=PP ，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。7. 抛物线上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若成
7、等差数列（1） 求证线段AB的垂直平分线过定点Q（2） 若（O为坐标原点），求抛物线的方程。（3） 对于（2）中的抛物线，求AQB面积的最大值。解：（1）设，则，由题意得，的中点坐标可设为，其中（否则），而，故AB的垂直平分线为，即，可知其过定点（2）由，得，联立解得。（3）直线AB：，代入得，又点到AB的距离，令，则，令即，得或或，时。思维点拔设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线交椭圆于A、B两点，若为的倾斜角，且的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将的方程与椭圆方程联立，消去，得由，的取值范围是思维点拔
8、对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于的方程由给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。9、已知抛物线与直线相交于A、B两点（1） 求证：（2） 当的面积等于时，求的值。（1） 证明：图见教材P127页，由方程组消去后，整理得。设，由韦达定理得 在抛物线上，（2） 解：设直线与轴交于N，又显然令思维点拔本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。解设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：y2+4ky
9、-4m=0， 设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，点M（x0，y0）在直线上。-2k（2k2+m）+3，m=-又BC与抛物线交于不同两点，=16k2+16m0把m代入化简得即，解得-1k0即m2-k2-90，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ） A B C D 4答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而=，
10、故选A点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答13、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为03万元和02万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元答案：700100200300100200300400500yxlM
11、解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线，即平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值联立解得点的坐标为（元）点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一14、设为实数，函数(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演
12、算步骤)不等式的解集解析：（1）若，则；（2）当时，当时，综上；（3）时，得，当时，；当时，0，得：；讨论得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力15、知函数（）设是正数组成的数列，前n项和为，其中若点(nN*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；（）求函数在区间内的极值解析：()证明： 因为所以，由点在函数的图象上,， 又， 所以，是的等差数列， 所以,又因为,所以, 故点也在函数的图象上()解:,令得当x变化时,的变化情况如下表: x(-,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)极大值 注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力16、设若是与的等比中项，则的最小值为（ ） A8 B4 C1 D答案：B解析：因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选择B点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力17、设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：；（）设，证明：解析： (1) 必要性： ，又 ，即
