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1、数列专项数列专项-3-3 类型类型 构造数列法：构造数列法： 形如形如（其中（其中均为常数且均为常数且）型的递推式：型的递推式： qpaa nn 1 , p q0p （1）若时，数列为等差数列; 1p n a （2）若时，数列为等比数列;0q n a （3 3）若）若且且时，数列时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等构造等1p 0q n a 比数列比数列来求来求. .方法有如下两种： 法一：法一：设,展开移项整理得,与题设 1 () nn ap a 1 (1) nn apap 比较系数（待定系数法）得 1nn apaq ,即 1 ,(0)(
2、) 111 nn qqq pap a ppp 1 () 11 nn qq ap a pp 构成以为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公 1 n q a p 1 1 q a p p 式求出的通项整理可得 1 n q a p . n a 法二：法二：由得两式相减并整理得即qpaa nn 11 (2) nn apaq n 1 1 , nn nn aa p aa 构成以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化 1nn aa 21 aap 1nn aa 为类型类型（累加法）（累加法）便可求出. n a 例例 1010.在数列中，且，求数列的通项公式。 an 2 1 a23 1 nn aa
3、 n a 例例 1111.在数列中，且，求数列的通项公式。 an12 1 a3 3 2 1 nn aa n a 形如形如型的递推式型的递推式： 1 ( ) nn apaf n (1)p 当当为一次函数类型（即等差数列）时：为一次函数类型（即等差数列）时：( )f n 法一：法一：设，通过待定系数法确定的值，转 1 (1) nn aAnBp aA nB A B、 化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项 1 aABp n aAnB 公式求出的通项整理可得 n aAnB. n a 法二：法二：当的公差为时，由递推式得：，( )f nd 1 ( ) nn apaf n 两式相减得：，令
4、得： 1 (1) nn apaf n 11 () nnnn aap aad 1nnn baa 转化为类型类型求出 ，再用类型类型（累加法）（累加法）便可求出 1nn bpbd n b. n a 例例 12.12.在数列中，且，求数列的通项公式。 an 2 1 a243 1 naa nnn a 当当为指数函数类型（即等比数列）时：为指数函数类型（即等比数列）时：( )f n 法一：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以 1 ( )(1) nn af np af n 为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求 1 (1)afp( ) n af n 出的通项整理可得( ) n af
5、n. n a 法二：法二：当的公比为时，由递推式得：，( )f nq 1 ( ) nn apaf n ，两边同时乘以得，由两式相 1 (1) nn apaf n q 1 (1) nn a qpqaqf n 减得，即，在转化为类型类型便可求出 11 () nnnn aa qp aqa 1 1 nn nn aqa p aqa . n a 法三：法三：递推公式为（其中 p，q 均为常数）或（其中 n nn qpaa 11 n nn aparq p，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：， 1n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 引入辅助数列引入辅助数列（其
6、中） ，得：再应用类型类型的方法解决。 n b n n n q a b q b q p b nn 1 1 例例 1313.在数列中，且，求数列的通项公式。 an 2 1 a n nn aa23 1 n a 当当为任意数列时，可用为任意数列时，可用通法通法：( )f n 在两边同时除以可得到，令，则 1 ( ) nn apaf n 1n p 1 11 ( ) nn nnn aaf n ppp n n n a b p ，在转化为类型类型（累加法）（累加法） ，求出之后得. 1 1 ( ) nn n f n bb p n b n nn ap b 例例 1414.在数列中，且，求数列的通项公式。 an
7、 2 1 anaa nn 3 1n a 类型类型 对数变换法：对数变换法： 形如形如型的递推式：型的递推式： 1 (0,0) q nn apapa 在原递推式两边取对数得，令得： 1 q n apa 1 lglglg nn aqap lg nn ba ，化归为型，求出之后得（注意：底数不一 1 lg nn bqbp qpaa nn 1n b10 . n b n a 定要取 10，可根据题意选择） 。 例例 15.15. 已知数列满足，求数列的通项公式。 an 5 1 3 nn aa 7 1 a n a 例例 16.16. 已知数列满足，求数列的通项公式。 an 5 1 32 n n n aa
8、7 1 a n a 类型类型 倒数变换法：倒数变换法： 形如形如（为常数且）的递推式：的递推式：两边同除于，转化为 11nnnn aapaa p0p 1nn aa 形式，化归为型求出的表达式，再求； 1 11 nn p aa qpaa nn 1 1 n a n a 还有形如还有形如的递推式，的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归 1 n n n ma a paq 1 11 nn mm aq ap 为型求出的表达式，再求.qpaa nn 1 1 n a n a 例例 17.17. 已知数列满足，求数列的通项 an 3 1 1 a)2( 11 naaaa nnnnn a 公式。 例例 18.
9、18. 已知数列满足，求数列的通项公式。 an 1 1 a 13 1 1 n n n a a a n a 类型类型 形如形如型的递推式：型的递推式： nnn qapaa 12 法一：法一：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设 1 nn aa ，比较系数得，可解得，于是)( 112nnnn kaahkaa qhkpkh,h k、 是公比为的等比数列，这样就化归为型。 1 nn aka hqpaa nn 1 法二：法二：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0 为数列的特征方程 （i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q 时，有：，其中 nn n qcpca 21 c1
10、与 c2由已知的 a1、a2确定。 （ii）当方程有唯一的实根 p 时，有其中 c1 与 c2 由已知的 a1、a2 n n pcnca)( 21 确定。 例例 19. 已知 ，求的通项公式。 nnn aaaaa 1221 2,3,2 n a 例例 20.已知 ，求的通项公式。 nnn aaaaa23,3,2 1221 n a 类型类型 IXIX 不动点法不动点法 为了求出递推数列的通项，我们先给出如下两个定义： dtc bta t n n n 1 定义定义 1 1：若数列满足，则称为数列的特征函数. n t)( 1nn tft )(xf n t 定义定义 2 2:方程=x 称为函数的不动点方
11、程，其根称为函数的不动点.)(xf)(xf)(xf 下面分两种情况给出递推数列通项的求解通法. dtc bta t n n n 1 (1)当 c=0,时, 由, , dtc bta t n n n 1 d b t d a t nn 1 记,，则有 （k0）, ,k d a c d b ctkt nn 1 数列的特征函数为=kx+c, n t)(xf 由 kx+c=xx=,则 k c 1 ctkt nn 1 ) 1 ( 1 1 k c tk k c t nn 数列是公比为 k 的等比数列, 1 k c tn . 1 1 ) 1 ( 1 n n k k c t k c t 1 1 ) 1 ( 1
12、n n k k c t k c t (2)当 c0 时, 数列的特征函数为：= n t)(xf dxc bxa 由x dxc bxa 0)( 2 bxadcx 设方程的两根为 x1,x2,则有:0)( 2 bxadcx , ,0)( 1 2 1 bxadcx0)( 2 2 2 bxadcx (1) 1 2 )( 1 xadcxb (2) 2 2 2 )(xadcxb 又设(其中,nN*,k 为待定常数). 2 1 21 11 xt xt k xt xt n n n n 由 2 1 21 11 xt xt k xt xt n n n n 2 1 2 1 xt xt k x dtc bta x d
13、tc bta n n n n n n (3) 2 1 22 11 xt xt k dxtcxbat dxtcxbat n n nn nn 将(1)、 （2）式代入(3)式得: 2 1 22 2 2 11 2 1 xt xt k axtcxcxat axtcxcxat n n nn nn 2 1 22 11 )( )( xt xt k xtcxa xtcxa n n n n 2 1 cxa cxa k 数列是公比为(易证)的等比数列. 2 1 xt xt n n 2 1 cxa cxa 0 2 1 cxa cxa = 2 1 xt xt n n 1 2 1 21 11 n cxa cxa xt xt . 1 2 1 21 11 1 2 1 21 11 21 1 n n n cxa cxa xt xt cxa cxa xt xt xx t 例例 21.21. 已知数列an中，a1=3，求an的通项。 1 24 1 n n n a a a 例例 22.22. 已知数列an中，a1=2
