《苏教版理2014届高三必备数学大一轮复习讲义18章配套课件课时检测导学案配套文档154份苏教版（理）】步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义配套word版文档】8.7》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版理2014届高三必备数学大一轮复习讲义18章配套课件课时检测导学案配套文档154份苏教版（理）】步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义配套word版文档】8.7（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.7立体几何中的向量方法()求空间角与距离2014高考会这样考1.考查用向量方法求空间角的大小；2.考查简单的空间距离的计算复习备考要这样做1.掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；2.会利用向量方法对距离进行转化1空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小1如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，2如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的
2、法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n23.点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.难点正本疑点清源1向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算2利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补3求点到平面距离的方法：垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已
3、知面的垂面是关键；等体积法，转化为求三棱锥的高；等价转移法；法向量法1若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_答案解析na8338，|n|3，|a|，cosn，a.又l与所成角记为，即sin |cosn，a|.2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于_答案30解析由题意得直线l与平面的法向量所在直线的夹角为60，直线l与平面所成的角为906030.3从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角l的大小为60，则EPF的大小为_答案60或1204. 如图所示，在
4、空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为_答案a解析由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A(a,0，a)F，E.EFa.5在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_答案解析以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos，.题型一求异面直线所成的角例1如图，已知正方体ABCDA1
5、B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的射影(1)证明：直线FG1平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解(1)证明以D为原点，、分别为z轴、y轴、x轴的正向，|为1个单位长度建立空间直角坐标系由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，(0,1，1)，(0，1，1)，(1,0,0)，0，0，又EE1FE1E1.FG1平面FEE1.(2)
6、解由题意知点A的坐标为(2,0,0)，又由(1)可知(1，2，1)，(0，2,0)，cos，sin，.探究提高用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，所以要注意二者的区别与联系，应有cos |cos |. 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBBF1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值解以A为原点，、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是(
7、1,3,2)，(4,2,2)，设EC1与FD1所成的角为，则：cos ，直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.题型二求直线与平面所成的角例2如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量(1)证明以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B(0,1,
8、0)设C(m,0,0)，P(0,0，n) (m0)，则D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因为00，所以PEBC.(2)解由已知条件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n(1，0)又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.探究提高利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，A
9、BAC，PAACAB，N为AB上一点，且AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小(1)证明设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，0)所以(1，1，)，(，0)因为00，所以CMSN.(2)解设平面CMN的法向量为n(x，y，z)，则.yx，zx，取x2，则n(2,1，2)为平面CMN的一个法向量cosn.n135，故SN与平面CMN所成角的大小为45.题型三求二面角例3(2012广
10、东)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值思维启迪：利用图中的PA平面ABCD、ABCD为矩形的条件建立空间直角坐标系，转化为向量问题(1)证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.同理由PC平面BDE可证得PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)解如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系由(1)知BD平面PAC，又AC平面PAC，BDAC.故矩形ABCD为正方形，ABBCCDAD2.A(0,0,0)，B
11、(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(2,0，1)，(0,2,0)，(2,2,0)设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，则即取x1得n(1,0,2)BD平面PAC，(2,2,0)为平面PAC的一个法向量cos n，.设二面角BPCA的平面角为，由图知0，cos ，sin .tan 3，即二面角BPCA的正切值为3.探究提高求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 (2011辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAA
12、BPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值(1)证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以DA、DP、DC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0，即PQDQ，PQDC.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)解依题意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n(0，1，2)同理，设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1,1
13、,1)所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值为.题型四求空间距离例4在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离思维启迪：由平面SAC平面ABC，SASC，BABC，可知本题可以取AC中点O为坐标原点，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用向量法求解解取AC的中点O，连结OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1,0，)，(1，0)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则，取z1，则x，y，n(，1)点B到平面CMN的距离d.探究提高点到平面的距
