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1、高一数学必修一易错题集锦答案1. 已知集合M=y|y =x21,xR,N=y|y =x1,xR，则MN=（ ）解：M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|(yR)=y|y1, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，这三个集合是不同的2 .已知A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0且AB=A，求实数a组成的集合C解：AB=A BA 又A=x|x23x2=0=1，2B=或C=0，1，2 3 。已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：m+n (填A,
2、B,C中的一个)解：mA, 设m=2a1,a1Z, 又n,n=2a2+1,a2 Z ,m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , m+nB。 4 已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，求实数p的取值范围解：当B时，即p12p1p2.由BA得：2p1且2p15.由3p3. 2p3当B=时，即p12p1p2.由、得：p3.点评：从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题5 已知集合A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac2若A=B，求c的值分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的
3、数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式 解：分两种情况进行讨论 （1）若ab=ac且a2b=ac2，消去b得：aac22ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0c22c1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解（2）若ab=ac2且a2b=ac，消去b得：2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.6 设A是实数集，满足若aA，则A，且1A.若2A，则A中至少还有几个元素？求出这几个
4、元素A能否为单元素集合？请说明理由.若aA，证明：1A.求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：2A 1A A 2A A中至少还有两个元素：1和如果A为单元素集合，则a即0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集aA A AA，即1A由知aA时，A， 1A .现在证明a,1, 三数互不相等.若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，a若a=1，即a2-a+1=0，方程无解a1 若1 =，即a2-a+1=0，方程无解1.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. 7 设Ma，b，c，N2,0,2,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到
5、N的映射满足 (a)(b)f(c),试确定这样的映射的种数.解：（1）由于Ma，b，c，N2,0,2，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个8.已知函数的定义域为0，1，求函数的定义域解：由于函数的定义域为0，1，即满足，的定义域是1，0 9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知是二次函数，若，求.（2）已知，求（3）若满足求解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设由于得，又由，即因此：(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设（）（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解用代可得：与联列可消去得：.点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待
6、定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.10 已知，试求的最大值.分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 得又当时，有最大值，最大值为点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 得 当时，取最大值，最大值为这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地
7、解题.11设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求的表达式.解法一：由，设，得，所以解法二：令，得即又将用代换到上式中得点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数的奇偶性.解：有意义时必须满足即函数的定义域是，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13 判断的奇偶性.正解：方法一：是奇函数方法二：是奇函数14函数y=的单调增区间是_.解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是15已知奇函数f(x)是定义在(3，
8、3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,求x的取值范围.解：由,故0x,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,综上得2x,即A=x|2x,16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x1)；(2).分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x2时，即x-20时，当x2时，即x-20时，所以这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x1时，lgx0，y=10lgx=x；当0x1时，lgx0，所以
9、这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.17若f(x)= 在区间（2，）上是增函数，求a的取值范围解：设 由f(x)=在区间（2，）上是增函数得 a 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.18已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0
10、,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0, 且a2a+1=(a)2+0, 1+2x+4xa0
11、, a,当x(, 1时, y=与y=都是减函数， y=在(, 1上是增函数，max=, a, 故a的取值范围是(, +). 点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法. 23若，试求的取值范围.解：幂函数有两个单调区间，根据和的正、负情况，有以下关系解三个不等式组：得，无解，1的取值范围是（，1）（，）点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.
