《理论力学配套教学课件第4版贾启芬刘习军ch13》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学配套教学课件第4版贾启芬刘习军ch13（111页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,返回总目录,Theoretical Mechanics,第三篇 动 力 学,第13章 虚位移原理及拉格朗日方程,制作与设计 贾启芬 刘习军 郝淑英,返回首页,Theoretical Mechanics,第13章 虚位移原理及拉格朗日方程,目录,13.1 虚位移的基本概念,13.2 虚位移 虚功,13.3 虚位移原理及应用,13.4 用广义力表示质点系的平衡条件,13.5 动力学普遍方程及拉格朗日方程,Theoretical Mechanics,引 言,经典动力学,矢量动力学又称为牛顿欧拉动力学,虚位移原理和动力学普遍方程是分析力学基础,将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学 建立分析力学
2、的新体系,拉格朗日力学或分析力学,返回首页,第13章 虚位移原理及拉格朗日方程,Theoretical Mechanics,13.1 虚位移的基本概念,返回首页,第13章 虚位移原理及拉格朗日方程,Theoretical Mechanics,天津大学,13.1 虚位移的基本概念,13.1.1 约束和约束方程 13.1.2 约束的分类 13.1.3 自由度 13.1.4 广义坐标,返回首页,Theoretical Mechanics,13.1 虚位移的基本概念,13.1.1 约束和约束方程,自由质点系：运动状态（轨迹、速度等等）只取决于作用力和运动的起始条件的质点系。 非自由质点系：运动状态受到
3、某些预先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些限制条件）的质点系。 约束：非自由质点系所受到的预先给定的限制。 约束方程：用解析表达式表示的限制条件。 在静力学中考虑的是：如何将约束对物体的限制作用以约束力的形式表现出来。 在虚位移原理中考虑的是：如何将约束对物体的位置、形状以及运动的限制作用，用解析表达式的形式表现出来。,返回首页,Theoretical Mechanics,13.1.2 约束的分类,几何约束和运动约束,几何约束：只限制质点或质点系在空间位置的约束。,单摆的几何约束方程为,返回首页,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,几何约束和运动约束,运
4、动约束：对于质点或质点系不仅有位移方面的限制，还有速度或角速度方面的限制的约束。,车轮受到粗糙水平直线道路的约束，它限制轮心必须作直线运动，车轮则沿道路纯滚动，运动约束方程为 yOr vOr0,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,O,Theoretical Mechanics,定常约束与非定常约束,定常约束：约束方程中不显含时间的约束。,非定常约束：约束方程中显含时间的约束。,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,定常约束与非定常约束,变长度单摆非定常约束的显含时间变量t的约束方程 x2y2(l0
5、v0 t)2,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,完整约束与非完整约束,完整约束：约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但是它可以积分，转换为有限形式的约束。,非完整约束 ：约束方程包含质点速度、且不可积分，不能转换为有限形式的约束。,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,完整约束与非完整约束,圆轮所受约束为完整约束,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,可积分为,Theoretical Mechanics,完整约束与非完整约
6、束,约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,双面约束与单面约束,双面约束：不仅能限制质点在某一方向的运动，还能限制其在相反方向的运动的约束。 单面约束：只能限制质点沿某一方向运动的约束。 双面约束方程是等式的形式，单面约束方程则是不等式的形式。,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,双面约束与单面约束,单面约束还是双面约束？,约束方程？,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,The
7、oretical Mechanics,单面约束还是双面约束？,约束方程？,x,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,用不可伸长的软线约束，则只能限制摆锤沿软线受拉方向的运动，并不能限制摆锤沿软线受压方向的运动，为单面约束。其方程为,单摆系用摆杆约束，为双面约束。其方程为,返回首页,13.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,本章只讨论完整的、定常的、双面约束。假设某质点系由n个质点、s个约束组成，此系统的约束方程的一般形式应为,i1,2,n， j1,2,s,返回首页,13
8、.1.2 约束的分类,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,13.1.3 自由度,自由度数：在具有完整约束的质点系中，惟一地确定系统在空间的位形或构形的独立坐标的数目数。,1. 以质点作为质点系的基本单元 质点系由n个质点、s个完整约束组成。在直角坐标系中，用3n个坐标来确定n个质点在空间的位置；但该质点系受到s个约束方程的限制。因此，确定该质点系位置的独立坐标的数目，即自由度数k为 k3ns 如果质点系属于平面问题，在Oxy平面内，zi0，则为 k2ns,返回首页,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,单摆是平面问题，n1，
9、s1，所以单摆的自由度数k211=1。,返回首页,13.1.3 自由度,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,2. 以刚体作为质点系的基本单元 质点系由N个刚体、s个完整约束组成。用3N个线位移坐标和3N个角位移坐标确定这N个刚体在空间的位置；该质点系受到s个约束方程的限制。因此，确定该质点系位置的独立坐标的数目亦即自由度数k k6Ns,如果质点系属于平面问题，在Oxy平面内，zi0，xy0， k3Ns 车轮属于平面问题，N1，s2，所以车轮的自由度数 k3121,返回首页,13.1.3 自由度,13.1 虚位移的基本概念,O,Theoretical Mech
10、anics,广义坐标:确定质点系位置的独立变参量数目数。,完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数,平面双摆，N2，s4，自由度数 k3242。 若选择1和2作广义坐标，则此时A、B两点的坐标方程为,返回首页,13.1.3 自由度,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,非完整约束系统的自由度,广义坐标有四个,实位移应当满足,虚位移也应当满足,系统的虚位移,只有三个是独立的。,对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度数。这时，系统的自由度等于独立的虚位移数目。,返回首页,13.1.3 自由度,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical
11、Mechanics,质点系由n个质点、s个完整约束组成。 该系统有k3n-s个自由度。若选择 q1，q2，qk作为确定此系统位置的k个广义坐标。在选定的直角坐标系中，此系统任一质点Mi的坐标可以表示为广义坐标的函数，即,i 1,2,n,用广义坐标表示的质点系各质点位置的表达式,返回首页,13.1.3 自由度,13.1 虚位移的基本概念,Theoretical Mechanics,13.2 虚位移 虚功,返回首页,第13章 虚位移原理及拉格朗日方程,Theoretical Mechanics,天津大学,13.2 虚位移 虚功,13.2.1 虚位移的概念 13.2.2 虚位移的表示方法 13.2.
12、3 虚功 13.2.4 理想约束,返回首页,Theoretical Mechanics,13.2 虚位移 虚功,13.2.1 虚位移的概念,实位移：在力的作用下，质点或质点系产生相应的真实运动。这种运动不仅符合该系统运动的起始条件，还满足它的约束条件的位移 虚位移：在给定的位置上，质点系为所有约束所允许的无限小位移。,返回首页,Theoretical Mechanics,虚位移特点： 第一，虚位移是约束所允许的位移。 第二，虚位移是无限小的位移。 第三，虚位移是虚设的位移。 质点系中第i个质点的虚位移用ri表示，以区别于该质点的实位移dri。这里的“”是等时变分算子符号，简称变分符号。在虚位移
13、原理中它的运算规则与微分算子“d”的运算规则相同。 实位移是一个力学现象，虚位移则是一个几何概念。,返回首页,13.2 虚位移 虚功,13.2.1 虚位移的概念,Theoretical Mechanics,实位移是在一定力的作用下和给定的初始条件下运动而实际发生的，具有确定的方向。 虚位移则是在约束允许的条件下可能发生的，视约束情况可能有几种不同的方向。,在定常约束的情况下，微小的实位移必然是虚位移之一。,返回首页,13.2 虚位移 虚功,13.2.1 虚位移的概念,Theoretical Mechanics,13.2.2 虚位移的表示方法,1. 几何法 对于刚体和刚体系统，运用几何学或运动学
14、来求得各点虚位移之间的关系。 在图 a 中,在图 b 中，可利用rA及rB在AB上投影相等的条件（虚速度法），求得rA与rB之间的关系。,返回首页,13.2 虚位移 虚功,Theoretical Mechanics,质点系中各质点的位置用广义坐标 , 的函数表示。对广义坐标的变分为 , ，则质点系中任一质点Mi的虚位移可以表示为,此运算方法称为等时变分法，与求微分的方法相类似。,2. 解析法,返回首页,13.2.2 虚位移的表示方法,13.2 虚位移 虚功,Theoretical Mechanics,例如：求双摆中，AB两点的虚位移。,但应注意，坐标系Oxy的原点必须选择在固定点上。,A、B点
15、的虚位移为,返回首页,13.2.2 虚位移的表示方法,13.2 虚位移 虚功,Theoretical Mechanics,13.2.3 虚功,虚功：作用于质点上的力在该质点的虚位移中所做的元功，用W表示。 若用F，r分别代表力和虚位移，则虚功的表达式为,虚位移是虚设的，为约束所允许的无限小位移，因此虚功也是虚设的元功。,返回首页,13.2 虚位移 虚功,Theoretical Mechanics,13.2.4 理想约束,理想约束：约束力虚功之和等于零的约束。 可表示为,理想约束是现实生活中的约束的抽象化模型，它代表了大多数约束的动力学性质。一般来说，凡是没有摩擦或摩擦力不作功的约束都属于理想约
16、束。,返回首页,13.2 虚位移 虚功,Theoretical Mechanics,光滑固定支承面和滚动铰链支座,这两类约束的约束力FN总是垂直于力的作用点A的虚位移r，因此其虚功为零。,返回首页,13.2.4 理想约束,13.2 虚位移 虚功,Theoretical Mechanics,光滑固定铰链支座和轴承,这两种约束在构件和轴出现微小转角的虚位移时约束力的作用点保持不动，因此约束力的虚功之和为零。,返回首页,13.2.4 理想约束,13.2 虚位移 虚功,Theoretical Mechanics,连接物体的光滑铰链,连接杆AB和AC 的光滑铰链，其约束力F 与F 作用于A 点，并且是一对作用力与反作用力。因此,在 A 点的虚位移中，这两个力的功之和为,即约束力的虚功之和为零。,返回
