初等几何作图问题探讨

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1、初等几何作图问题探讨摘要 本文主要研究初等几何作图问题，初等几何作图问题在中学教学过程中有着尤为重要的地位，它能加强学生分析和全面观察问题的能力，并加深对几何各部分的理解，所以学习好初等几何作图可以帮助学生更加有效的学习几何问题。它在实际生活也有着重要的作用. 本文介绍了初等几何作图问题的意义以及其体现的价值，介绍了基本作图的五种类型以及证明，还有解决作图问题的几种方法，并且举出具体例子来应用了几何问题作图法。关键词 几何作图，基本类型，轨迹交截法，三角形奠基法，合同变换.1 绪论 初等几何作图问题是中学数学教材的薄弱环节，但是初等几何作图最能加强学生分析和全面观察问题的能力，并加深对几何各部

2、分的理解，因此探讨初等几何作图问题是很有必要的，掌握初等几何作图的技巧对于中学生来说相当的重要，它可以帮助学生更加有效的学习几何问题。2 初等几何作图问题的定义，意义以及作用 假设给了一些条件，而设法求作具备这些条件的图形，这就是初等几何作图问题。完成作图以后，便可以断言具备某些条件的图形存在，或者说在什么样的情况下具备这样条件的图形才能存在，使言之有物。其实解初等几何作图问题在某种意义上来说就是存在问题的证明。几何作图在学习几何中的重要意义是大家所公认的,几何作图问题的价值有很多：（1）完成一个作图题在学生头脑里能把个别的几何事实具体化，将注意力从字面上的几何命题转到这命题所含有的现实几何关

3、系上来，比如说，在学习了“垂直于弦的半径平分这弦”的定理以后，再做一到简单的题目：“过圆内一已知点求作一弦使被此点所平分”，学生是不难解决的。由此，我们可以总结到，如果简单地重复定理的条文来复习巩固这个定理的意义就不大了，但是，用这个定理作为工具来解这个作图题，可以使学生明白到，不仅仅半径垂直于弦，同时，弦也是垂直于半径的，这样就有了积极的意义了。所以说初等几何作图的第一个价值在于，几何作图是建立学生的具体几何观念的重要手段，是克服学生单纯死记硬背定理条文的好办法。（2）几何作图可以提供题材，把所学的命题用来解决某些具体问题，使学生学会学以致用，这一点几乎对于几何课的每一章节都适用。解作图题时

4、还经常需要学生有一定的主动性和独立性，也给他们尝试一下自己的能力的机会，因此，初等几何作图的第二个价值在于，它为初等几何课程的几乎每一个章节提供了练习的材料。（3）几何作图的学习给制图学提供了理论基础，它在实践上的意义是不可忽视的。工农业生产经常需要改良工具，创造新的产品，不仅在设计过程中需要绘图样，在零件加工过程中，往往也是需要精确而又迅速的作图技能。（4）在解作图题的过程中，要运用一系列相当复杂的逻辑思维，解作图题的各个部分的术语“分析”“作法”“证明”“讨论”,是其价值的体现。2.1 初等几何作图的基本作图的几种类型初等平面几何的研究对象不外乎直线、圆以及由它们或它们的部分所构成的图形，

5、所以我们作图工具习惯上是先用直尺和圆规的。仅用直尺和圆规经有限次手续的作图称为尺规作图或规矩作图或初等几何作图。不能经有限次数使用直尺和圆规完成的作图被称为规矩作图不能问题或不可作问题。所谓不可作问题并非是问题无解，而只是说限用直尺和圆规是不可能的，例如：任意角的三分之一必然存在，但是我们却不能用直尺和圆规做出来。尺规作图的原理有：图形相似、对应角相等、对应边之比相等；图形全等、对应角相等、对应边相等。初中阶段的几种基本作图分别是作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；平分已知角（即作已知角的平分线）；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；过一点作已知直线的平行线；求作三角形，已知三

6、边或二边及其夹角或二角及其夹边；平分一弧。2.1.1 作一条线段等于已知线段已知：线段求作：线段，使得作法：作射线,以为圆心，以长为半径画弧交射线于，则就是所求作的线段。2.1.2 作一个角等于已知角已知：求作：，使得分析：求作一个角等于已知角，只要在的两边上取，连接，在作射线，在上取点，使，在利用圆的性质找出点，连接使即可作法：（1）作射线；（2）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点； （3）以点为圆心，以的长（或的长）为半径画弧，交于；（4）以点为圆心，以 的长为半径画弧，交前面的弧于点；（5）过 点作射线就是所求作的角2.1.3 平分已知角（即作已知角的平分线） 已知：求作：的

7、平分线作法:(1)以点为圆心,任意长为半径画弧分别交,于, ;(2)分别以,为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧交于点;(3)作射线.射线即为的平分线.证明:根据作图可知, , ,. 则,故.非物质文化遗产是指各族人民世代传承的，与群众生活密切相关的各种传统文化表现形式和文化空间，包括民俗活动、表演艺术、传统知识和技能以及与之相关的器具、实物、手工制品等第 3 页 共 10 页2.1.4 作线段的垂直平分线已知：线段求作：其垂直平分线；分析与作法：分别以,为圆心，大于 为半径，画圆两圆相交与，两点，连接，即为的垂直平分线。证明：如图：，根据线段垂直平分线的性质可知即为的垂直平分线；2.2 解作图

8、题的步骤解作图题分为四步:1分析 遇到比较困难不是一目了然的作图题,常假定合于条件的图已作出, 研究已知件和求作件间的关系, 从而得出作图的线索, 这过程称为分析, 是解题重要的一步.2作法 根据分析的线索,按作图公法及已知作图题作图.利用已知作图题时, 只须说明清楚, 不必将它本身的作图过程絮絮而道.教师对学生可随时追查他们掌握一些基本作图题的熟练情况.3证明 用以表明所作图形确具所设条件. 4讨论 作图题解的有无多寡,定与不定,决定于已知条件的大小、位置及其相互关系, 这种研究称为讨论.作图题不加分析和讨论, 很可能遗漏一些解, 就像解轨迹问题时只照顾到纯粹性而疏忽了完备性一样。2.3 初

9、等几何作图法初等几何作图法有很多种，其中包括轨迹交截法、三角形奠基法、应用合同变换解作图问题，位似变换的应用代数分析法等。以下重点介绍轨迹交截法,三角形奠基法和应用合同变换解作图问题。2.3.1 轨迹交截法轨迹是解作图题的重要工具。一个作图题的解决, 往往归结到某一点的确定.而一点的确定, 须用两个条件和。如果能求出合于条件的轨迹以及合于条件的轨迹 , 那么和的交点同时满足条件 和。这种由轨迹相交以解作图题的方法称为轨迹交截法,简称交轨法。事实上,其他作图方法大都也要用交轨法。决定某一点的轨迹可能有若干个, 我们选择熟知简易的。我们举两个例子应用轨迹交截法：（1）. 在已知弧 上求一点使弦的比

10、为 定比() .方法（一）分析: 设点 已求到, 满足,则除在弧上外, 还应在一个阿氏圆上.内分、外分于、使,于是 还应在以 做直径的圆上.作法： 如分析过程定出、 两点,以为直径作圆, 它与弧相交于所求点 .证: 由阿氏圆的性质,.讨论: 本题恒有一解,因 在已知圆内而 在其外, 这两圆必相交于两点, 但其中一点必在阿氏圆直径的另一侧,故不在弧上.当时,阿氏圆不存在, 但解依然存在, 即弧的中点.方法（二）分析：设点一求到，满足，若作的平分线，则必通过弧的共轭弧的中点。设交于，由三角形内角平分线的性质，有.所以，只要求出点及点与弧得交点，即为所求。作法：作弧的共轭弧的中点，在线段内作一点，使

11、，载连直线交弧得点，则为所求作。证明：由所作，必是角的平分线，它交于，由内分角线性质，有。讨论：因为点、只能唯一作出，故本题恒有一解，若采用本法，题中可不必限制。（2）. 已知的底边,顶角以及余二边的平方和, 求作这三角形.分析: 设 已作成, 底边= 定长, 顶角定角, 且.当任意作出=以后, 顶点 的一个轨迹是以 为弦而内接角等于的圆弧.若以表 中点, 则 ,所以 点的另一轨迹是一个圆周( 即以 为中心, 以 为半径的圆) .因而点可以确定.作法: 作线段= , 在上作内接角等于的圆弧; 以 中点 为中心以为半径作圆, 交方才的圆弧于, 则即所求者.证: 由作法, = , , 且 所以 合

12、于所设条件.讨论: 当上面的圆弧和圆没公共点时, 无解; 相切时一解; 相交于两点、时, 由于 和 合同, 仍然只有一解.和要满足 , 否则无解.2.3.2 三角形奠基法一些作图题中, 往往可以先作成图形的一个三角形, 从而奠定了全部图形的基础.即是说, 图形的其余部分可由此陆续作出.这种三角形称为基础三角形.这种作图法称为三角形奠基法.同样举两例来应用三角形奠基法。（1） 已知三角形底边 ,高 ,中线的长,求作。分析: 设已作成, 底边; 高; 中线.在直角 中, 有两边为已知长, 故可作出, 顶点位置决定了.要决定、 两顶点的位置, 只要注意。作法: 任作一直角, 在一边上截得点.以 做中

13、心, 做半径画弧交另一边于.在这边上截取, 则 ABC 即所求者.证: 由作法, 合于所设条件。、讨论: 当时一解, 当时无解。（2） 已知的三中线、的长度,求作这三角形 .分析: 设 已作成.以表中线、的交点, 图形上没有可以奠基的三角形.但若延长到 使, 则四边形是平行四边形, 而的三边是已知长, 即各中线长的. 可取为奠基三角形.作法: 作 使 , ，.作的中点, 连 , 并延长 到 使 .延长至使, 则 即所求者.证: 由作法, 是 的中点, 因而 是 的中线.由于 . 是的重心, 并且.以、 表、 的中点, 由于是重心, 则, 。所以 合于条件.讨论: 本题有无解, 决定于 是否存在

14、。此三角形存在的条件是, ,。所以, 所给三中线能构成三角形时, 本题有一解, 否则无解。参 考 文 献1 朱德祥 朱维宗编 初等几何研究 高等教育出版社 2005年11月2 梅向明等编 高等几何(第二版) 高等教育出版社 2004年2月3 黄世同 关于几个几何作图题的推广 云南师范大学学报(自然科学版) 2004年5月4 黄立 射影几何在中学几何作图上的应用 承德民族师专学报 1994年2期5 郭朝勇 过双曲线外一点作其法线的求解分析及其几何迭代作图 军械工程学院学报 1997年2月6 高振山 再谈圆锥曲线的几何作图 数学通报 1997年2月7 贾维华 测量球的直径 中学生数学 1998年4月8 罗学善 射影点的几何作图 四川师范大学(自然科学版) 1994年6月9 陈金涛 单尺作图及证明两例 数学教师 1995年2月10 陈志康 作图分析与讨论 时代数学学习(七年级) 1996年11月11 鸿雁 几何作图问题 中学生理科月刊1999年第23版12 陈道前 谈谈尺规作图 中学生理科月刊 1997年第17版第 9页 共 10 页