曾谨言量子力学第3章

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1、第 3 章 力学量用算符表达,3.1 算符的运算规则 3.2 算符的本征函数与本征值 3.3 共同本征函数 3.4 连续谱本征函数的归一化,3.1 算符的运算规则,(a) 线性算符：凡满足下列规则的算符A，称为线性算符。,Note: 刻画可观测量的算符都是线性算符,单位算符I：保持波函数不变的算符,算符相等：若两个算符对体系的任何波函数的运算所得结果 都相同，则称这两个算符相等。,算符：量子力学中的算符就是对波函数（量子态）的一种运算,( c ) 算符之积： 两个算符A和B的积记为AB。定义如下：对任何 波函数有,1. 对易子(commutator),(b) 算符之和: 算符A,B之和，记为A

2、+B。定义如下：对任何波函 数有,交换律:,结合律:,Note: 一般来说，算符之积不满足交换律,若A,B=0,则称算符A,B是对易的； 若A,B0, 则称算符A, B不对易。,2.量子力学的基本対易关系,对易子的性质,证明：,对任意波函数有,3. 角动量算符,则,即,分量表述,球坐标系下的角动量算符,角动量的对易关系,或,定义角动量平方算符,对易关系,板书证明部分角动量对易关系,Levi-Civita 符号,练习：令,证明,（升、降算符）,（注意算符的叉积 与两个矢量叉积的 区别）,(d)逆算符：设,能唯一地解出，则可定义算符A的逆算符A-1为,说明： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影

3、算符,(2) 若算符A有逆，则有,(3) 若算符A,B的逆均存在，则有,(f) 算符的函数,若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛,则可定义算符A的函数F(A)为,如,则,平移算符,两个算符的函数,两个任意量子态的标积：,对一维粒子,对三维粒子,算符的乘幂：定义算符A的n次幂为,例，若,则,显然算符的乘幂满足：,标积的性质,(f) 转置算符： 算符A的转置定义为,或,例如：,证明：,按转置算符的定义，上式的左边有,则,由于函数，是任意的，则有,即,练习 证明：,(g)复共轭算符和厄米共轭算符,算符A 的复共轭算符A*定义为,通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解： 把算符A中的 所有

4、量都换成其复共轭。,如,算符A 的厄米共轭算符A+定义为,则,所以,如,性质,(h) 厄米算符,满足下列关系的算符称为厄米算符（自共轭算符），或说是厄米的,Note: 所有力学量的算符均是厄米算符,性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符,(3)无论厄米算符A,B是否对易，算符,均是厄米算符,（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合,令,则O+和O-均是厄米算符。,即,定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。,证明：,逆定理：在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符,证明： 按照假定,即,取=1+c2, 1,2也是任意的，c是任

5、意常数，代入上式,在任意态下算符A的平均值都是实数，即,所以,分别令c=1和c=i得到,两式分别相加、减得,推论：设A 是厄米算符，则在任意态下有,-END,注：实验上的可观测量在任何状态下的平均值都是实数，相应 的算符必定是厄米算符,设厄米算符A在任意态下的平均值为零，则A为零算符， 即,证明：,在态,下的平均值也为零 ，即,即,所以,3.2 厄米算符的本征值与本征函数,涨落：力学量的测量值围绕其平均值的上下波动。,利用算符的厄米性可得,本征态：若体系处于一特殊态，测量力学量A所得结果是唯一确定 的，即涨落为零，则称这种状态是力学量A的本征态。,即,或写成,An称为算符A的本征值，n为相应的

6、本征态， 方程(3)称为算符A的本征方程。,定理1 厄米算符的本征值必为实数,量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量A时所有可能出现 的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符A的 本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即An,定理 2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交,证明：,设,取上式的复共轭得,上式右乘n，并积分得,对厄米算符A,有,所以,若,，则必有,-证毕,例题1 求角动量的z分量的本征值与本征函数,解：本征方程,整理得,其解为,周期性边界条件,所以,相应的本征函数为,归一化,即,例题2 平面转子的能量本征值与本征态,解： 平面转子的哈密顿为,能量本征方

7、程,解为,能量本征值为,显然，除了m = 0外，对应一个本征值Em，有两个本征态， 能级二重简并。,思考题：平面转子的能量本征态可否取为实函数sinm,cosm? 此时它们是否仍为lz的本征态？,例题3 求动量x分量的本征态,解：动量x分量的算符,本征方程为,其解为,连续谱本征函数不能归一化，习惯上取,波函数满足,例题4 一维自由粒子的能量本征态,解： 一维自由粒子的Hamilton 量为,本征方程：,本征函数：,能量本征值：,能级二重简并,思考题：自由粒子的能量本征态可否取为sinkx与coskx? 此时它们是否还是px的本征态？它们是否有确定的宇称？ 相应的粒子流密度是多少？,能级简并,设

8、力学量A的本征方程为,属于本征值An的本征函数有fn个，则称本征值An 是fn重简并的。 一般来说，简并态的选择并不是唯一的，简并态间也不一定彼此 正交，但总可以适当地线性组合使之彼此正交。,证明： 令,则,即n仍是算符A的本征态，相应的本征值仍是An,可选择系数a使得n具有正交性，即,上述条件共有,个,系数a的个数为,可以证明,因此总可以找到一组a使得新波函数满足正交化条件 -Schmidt正交化方案。,确定简并态的方法：如果算符A 的本征态是简并的，往往选用 其它力学量的本征值对简并态进行分类，此时正交性问题自动 解决，这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征态的问题,两个力学量是否可以有共

9、同的本征态？或者，是否可以同时确定？,正交条件数,归一条件数,3.3 共同本征函数,3.3.1 不确定关系的严格证明,设有两个力学量A和B， 考虑下列积分不等式,其中，为任意波函数，为任意实参数，A, B均是厄米算符。,上式可写成,引进厄米算符,则,取,，则得到,即,代换,或,上式就是任意两个力学量A和B在任意量子态下的涨落所必须满足 的关系，称为不确定度关系(uncertainty relation),则有,则,特例： 若A=x, B=px, 且,则有,显然，若两个力学量A和B不对易，则一般来说A和B不能同时 为零，即A,B 不能同时测定（特殊态例外），或者说，它们不能 有共同本征态；反之，

10、若两个厄米算符A 和B对易，则可找出这样 的态，使A=0和B=0可以同时满足，即可找到它们共同的本征 态。,思考题1 若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们就彼此对易？ （不一定）,思考题2 若两个厄米算符不对易，是否就一定没有共同本征态？ （不一定）,思考题3 若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有 确定的值？（不是）,思考题4 若A,B=常数，A和B能否有共同本征态？（有 or没有）,lx, ly能否有共同的本征态?（可以）,例题1 动量,的共同本征态,解：由于,则它们可以有共同的本征态，即平面波,例题2 坐标r(x,y,z)的共同本征态，即函数,思考题5 角动量分量,思考题6

11、px和y可否有共同本征态？（可以）,练习题,1. 对势能为V(x)的一维定态情形，证明,2. 设有三个力学量A, B, C，如果B, C=A, A, C=B，证明,3.3.2 (l2,lz)的共同本征函数，球谐函数,在球坐标下，有,由于,， l2的本征函数可取为lz的本征函数,令,本征方程,令,则,或,-连带Legendre方程,可以证明，当,时方程的解为连带Legendre多项式,利用正交归一化条件,定义一个归一化的部分的实函数,满足归一化条件,则(l2,lz)正交归一的共同本征函数为,利用正交归一化条件,定义一个归一化的部分的实函数,归一化,则(l2,lz)正交归一的共同本征函数为,Y l

12、m称为球谐函数。,l称为轨道角量子数， m称为磁量子数。,对给定的l，角动量的平方是（2l+1）重简并的，lz是非简并的,3.3.3 对易力学量完全集 （complete set of commuting observables CSCO）,设有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符(A1,A2,),它们的 共同本征态为，表示一组完备的量子数。设给定一组量 子数后，就能确定体系的唯一一个可能状态，则称(A1,A2,) 构成体系的一组对易可观测量完全集,或力学量完全集.,体系的任一量子态均可用展开,或,若体系的哈密顿量H不显含时间，则H为守恒量。如对易力学量 完全集中包含哈密顿量，则完全集中各力学量

13、都是守恒量，这种 完全集又称对易守恒量完全集。 (complete set of commuting conservative observables CSCCO),例题1 一维谐振子的哈密顿量(能量)本身构成力学量完全集,例题2 一维粒子的动量构成一维粒子的一个力学量完全集,例题3 三维自由粒子的动量是守恒量，动量的三个分量(px, py, pz) 构成一组力学量完全集,例题4 三维中心力场中,构成一组守恒量完全集。,关于可对易观测量完全集的说明,CSCO是限于最小集合，即从集合中抽出任何一个可观测量后， 就不再构成体系的CSCO (2)一个给定体系的CSCO中，可观测量的数目一般等于体系的

14、自由 度，但也可大于体系的自由度。 (3)一个给定体系往往可找到多个CSCO，或CSCCO。一个CSCO 成员的选择涉及体系的对称性。,定理: 设H是体系的一个厄米算符，对于体系的任一态 ， (, H )/( , )有下界，但无上界，则H的本征态的集合构成 体系的态空间中的一个完备集，即体系的任何一个量子态都可以 用这一组本征态来展开。,观测量完全集的完备性问题,说明,(a)自然界中真实存在的物理体系的Hamilton量算符H都应为 厄米算符，并且应有下界，因此体系的任一量子态总可以用 包含H在内的一个CSCCO的共同本征态完全集展开。 (b)在H的本征态有简并的情况下，对于给定的能量本征值，

15、其 本征态不能完全确定，此时需要用包含H在内的一个CSCCO， 根据它们的本征值吧本征态完全确定。,3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达,量子体系的可观测量用厄米算符描述，是量子力学的一个基本 假设，其正确性应该由实验来判定。该假设包含以下含义：,(1) 在给定状态下，力学量A的平均值由下式确定,(2) 在实验上测量力学量A，其可能测量值就是A的某一个本征值。 由于力学量观测值总是实数，因此要求相应的算符是厄米算符。,(3) 力学量之间的关系也通过相应算符之间的关系反映出来。,3.4 连续谱本征函数的归一化,3.4.1 连续谱本征函数不能归一化,连续谱本征函数不能归一化，如动量本征态,则

16、,坐标本征态,3.4.2 函数,定义,性质, 函数的Fourier展开,动量本征态为,坐标的本征态,则,可见，坐标的本征态就是函数，本征值为 x, 记为,“归一化”,“归一化”,3.4.3 平面波的箱归一化,箱归一化： 将粒子局限在有限空间-L/2,L/2运动，将波函数 离散化后归一，然后令L.,离散化波函数：为保证动量算符的厄米性，波函数必须满足 周期性条件,即,或,动量本征态为,满足归一化条件,利用离散化动量的本征函数构造离散化的函数,令,则,或,则离散化的函数可以变连续,推广到三维情况,其中，,构造函数：,当L时，,本章小结,各种算符的定义：单位算符、算符的逆、算符的转置、 算符的复共轭、算符的厄米共轭、厄米算符、算符的函数,2. 算符的运算规则：算符的和、算符的乘积,3. 算符的对易关系：,4. 厄米算符的性质：,5.厄米算符的本征方程