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1、第二章 质点运动学,2.1 质点的运动学方程,2.1.1 质点的位置矢量与运动方程,质点具有一定质量，不计其形状与大小的物体, 是理想模型。,可以将物体简化为质点的两种情况：, 物体不变形,只作平动., 物体本身线度和它活动范围相比小得很多.,建立直角坐标系 O xyz ， 令原点与参考点重合，则：,x,y,z 是质点的位置坐标.,位置矢量的大小为：,位置矢量由原点(参考点)引向质点位置的有向线段.,如图：,1.位置矢量,位矢方向:,2. 运动方程,建直角坐标系 O xyz ,令原点与参考点重合，则：,运动方程质点的位置随时间变化的函数方程,标量式 x = x(t) y = y(t) z =
2、z(t),轨迹方程质点在运动过程中描出的曲线方程.,在运动方程中消去 t 就是轨迹方程，,y = y (x),3. 轨迹方程,如,2.1.2 位移位置矢量的增量,1. 位移,位移是由初位置引向末位置的矢量.,在直角坐标系中坐标分解式：,动画演示,路程 质点经过的路径的总长度.,如图：,2. 路程,位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量.,问题 二者何时相同？,Q,例题1一质点在xOy平面内依照 x = t 2 的规律沿曲线 y = x3 / 320 运动,求质点从第2 秒末到第 4 秒末的位移(式中 t 的单位为s；x，y的单位为cm).,解,(cm),与水平轴夹角,问题 位移与参考系的选择有
3、关吗？,2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量,2.2.1 平均速度与瞬时速度,1.平均速度,平均速率,定义,大小为,2. 瞬时速度(简称速度),方向：质点运动路径的切向.,瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.,定义,大小：,动画演示,瞬时速率(简称速率),在直角坐标系中的分解式,例题1某质点的运动学方程为,求:（1）t = 0,1s时质点的速度矢量; （2）t =0到t =1s质点的平均速度;,大小,解,(单位m,s),(单位m/s , s),方向,t =0时,t =1s时,1.平均加速度,注意:,说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或 哪一段位移中的平均加速度.,一般,2.2.2 平
4、均加速度与瞬时加速度,定义,2. 瞬时加速度（简称加速度）,定义,直角坐标中,例题2某质点的运动学方程为,求质点的加速度矢量.,(单位m,s),解,a =10 m/s2,方向沿 z 轴.,2.3 质点直线运动 从坐标到速度和加速度,2.3.1 运动学方程,以质点运动直线为坐标轴，则质点运动学方程为,x = x ( t ),标量式,例如:,瞬时速度,2.3.2 速度和加速度,瞬时加速度,瞬时速率,v-t曲线某点切线的斜率等于 相应时刻的加速度.,x-t曲线某点切线的斜率等于 相应时刻的速度.,可由质点的 x-t 图画出质点的 vx-t 图，根据质点 vx-t 曲线画出 ax-t 曲线.,2.3.
5、3 匀速与匀变速直线运动,已知,x = x ( t ),则,同理,两式消去 t,设,求导得,其中，x0, v0x , ax 为常数,匀速,vx=常数,匀变速,ax=常数,例题1 一质点沿 x 轴作直线运动，其位置与时间的关系为 x = 10 + 8 t 4 t2 (单位m,s), 求： （1）质点在第一秒第二秒内的平均速度. （2）质点在t = 0、1、2s时的速度.,解,方向与x轴正向相同,2.3.4宇宙年龄和大小的估计测量重力加速度,例题1根据哈勃定律 估计宇宙年龄和大小.,解,宇宙始于大爆炸，正在膨胀.,由哈勃定律得,设宇宙以光速膨胀,则宇宙半径不会超过,实际上,由于万有引力的牵制,宇宙
6、膨胀是减速的.,例题2将真空长直管沿竖直方向放置.自其中O点向上抛小球又落至原处所用的时间为t2. 在小球运动过程中经过比O点高h处,小球离开h处至又回到h处所用时间为t1.现测得t1、t2和h，试决定重力加速度g.,解,建坐标系如图,测t2时，y0=0，v0y=v2，y=0，有,又,以上三式联立得,测t1时小球经h向上的速度为v0y=v1，有,例题3 云室、气泡室和发光室是记录带电粒子径迹的仪器，它们是原子核物理和粒子物理研究的基本设备。在云室中，气体含有过饱和蒸气和酒精汽。当快速带电粒子射入云室时，在它所经过的路径上将产生离子，使过饱和蒸气以离子为核心凝结成液滴，从而可以用照相的办法记录带
7、电粒子径迹。当云室中充以不同的气体时，带电粒子的运动方程具有不同的形式。设某云室中作直线运动的带电粒子的运动方程为,并在带电离子进入云室时开始计时，试描述该离子的运动情况。,解,离子的初始状态为,离子的最终状态为：,2.4质点直线运动 从加速度到速度和坐标,2.4.1 从速度到运动学方程和位移,已知 vx 求 x = x(t) 和 x,C为任意常数，由初始条件确定,将初始条件 t = t0 x = x0 代入(2.4.1) 式,(2.4.1),得,根据牛顿-莱布尼茨公式，有,所以,即,(2.4.2),质点位移为,(2.4.3),初始条件给定，运动方程便唯一确定.,2.4.2 已知加速度求速度和
8、运动学方程,已知 ax 求 vx = vx(t) 和 x(t),C1为任意常数，由速度的初始条件确定,将初始条件 t = t0 v = v0x 代入(2.4.4) 式,(2.4.4),得,即,根据牛顿-莱布尼茨公式，有,(2.4.5),由位置初始条件 t = t0 x = x0 求运动学方程,若 a 是常量(匀变速直线运动)，得,两式中消去 t,例题1 一质点沿x轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示，如t = 0时，质点位于坐标原点，求： t=4s 时，质点在x轴上的位置。,实际上可以用求面积的方法.,解,v/(ms-1),t/s,-1,2,1,2,3,4,1,0,例题2 一质点由静止开始作直
9、线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过时间后增加a0，求经过时间 t s后质点的速度和运动的距离.,解据题意知，加速度和时间的关系为,例题3跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时的速率为v0 ，入水后地球对他的吸引和水的浮力作用相抵消，仅受水的阻碍而减速，自水面向下取Oy轴，其加速度为 ， vy 为速度，k为常量. 求入水后运动员速度随时间的变化.,解,设运动员为质点，根据已知条件有,得,可见运动员速度随时间减小且当 t 时，速度变为零。,例题4 运动会上跳水运动员自10m跳台自由下落。入水后因受水的阻碍而减速，自水面向下取坐标轴Oy，其加速度为 ， .求运动员速度减为入水速度的1
10、/10 时，运动员入水深度.,解 设运动员以初速度为零起跳，至水面之速度为,在水中加速度为,作不定积分并化简得,C为积分常数.引入初始条件,得,即,时,设,，将,代入此式，得,2.5 平面直角坐标系抛体运动,2.5.1 平面直角坐标系,运动方程,在平面直角坐标系中表达式为,求导,vx和vy是质点的速度分量.速度的大小和方向,(2.5.2),(2.5.3),(2.5.1),加速度,ax和ay是质点的加速度分量.加速度的大小和方向,初始条件 t = t0 x = x0 y = y0 由(2.5.2)积分得,(2.5.4),(2.5.5),速度初始条件 t = t0 vx = v0x vy = v0
11、y,(2.5.6),对于质点的平面运动，若已知初始条件和质点速度和加速度随时间的变化规律并且可积，就能全面描写质点的运动状态.,例题1一质点平面运动的加速度为ax= -Acost , ay= -Bsint, AB , A0, B 0 初条件为t =0 , v0x=0, v0y=B, x0=A, y0=0. 求质点轨迹.,解,分别用A和B除上两式,取两式平方和,椭圆运动,2.5.2 抛体运动,1.运动叠加原理,右图中A、B同时同高抛出，同时着地.,结论：水平运动对竖直运动无影响.,即：当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动是各个运动的合成.,B运动=竖直+水平,2. 抛体运动,选平面直角坐标
12、系如 图，不计空气阻力，,在抛体运动中,加速度,为常矢量,抛体运动简化为x方向的匀速直线运动与y方向的匀变速运动的叠加. 运动学方程,由此可求出射高、射程、轨道方程等.,通过理想情况得出抛物线，以此为基准，进一步研究各种不同阻力对运动的影响.,2.5.3 用矢量讨论抛体运动,基本方程,矢量图,例题2 如图表示一演示试验. 抛体发射前，瞄准高处A的靶子，采取措施使靶子在抛体发射的同时开始自由下落. 那么，不管抛体的初速率怎样，抛体都能够击中靶子，这是为什么？,解 没有重力加速度，靶子就不会落下来，抛体也必沿着瞄准的方向以初速率v0 匀速前进，并打中靶子.这时，抛体经过的位移 的大小等于v0 t
13、,其中t为抛体从发射点到命中目标A点经过的时间.,但是，在t 时间内，抛体除了进行位移 外，还发生因重力加速度而引起的附加位移 ，抛体的总位移,并最终到达P点.,与此同时,靶子自A点自由下落,并经历了位移 ，且大小等于 ，并达到 点. 因 ，所以,点与P 点重合，抛体击中了靶子.,例题3如图所示，大炮向小山上的目标开火，此山的山坡与地平线的夹角为，试求发射角为多大时炮弹沿山坡射得最远？,解建立坐标系如图所示.,由运动叠加原理得炮弹的运动方程为,设炮弹落于坡上距O为 s 位置处，则：,联立以上四个方程可得炮弹的飞行时间,2.6 自然坐标切向和法向加速度,2.6.1 自然坐标,若质点轨迹已知，质点
14、的运动可分解为切向和法向.,自然坐标将质点轨迹曲线作为一维坐标的轴线,质点运动方程,自然坐标也可用矢量特征描述.,如图选轨迹上一点 为原点，用由原点 至质点位置的弧长 s 作为质点位置坐标. s 称自然坐标. s 可正可负.,速度矢量,加速度矢量,任何矢量都可向切向和法向方向作正交分解.,2.6.2 速度法向和切向加速度,切向单位矢量 沿曲线切向,指向s0方向.,法向单位矢量 沿曲线法向且指向曲线的凹侧.,at和an分别为质点的切向加速度和法向加速度.,1. 速度和加速度矢量,动画演示,C,2. 质点作圆周运动的切向加速度和法向加速度,经t 质点速度增量,取 AD=AC,t0时，近似有,(1)
15、法向加速度,an反映速度方向变化的快慢 .,法向加速度,(2)角速率,定义,t0 时，近似有,(3)切向加速度,at反映速度大小的变化率,(4)总加速度,(5)一般曲线运动,质点的曲线轨迹可视作由无限多个圆组合而成,曲率圆半径,例题1 汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为 (单位：m，s).,解 加速度,求汽车在t=1s时的加速度.,将R=200m及t1s代入上列各式，得,为加速度与 的夹角.,例题2低速迫击炮弹以发射角45度 发射,其初速率v0=90m/s.在与发射点同一水平面上落地.不计空气阻力,求炮弹在最高点和落地点其运动轨迹的曲率.,解将炮弹视为质点,不计空气阻力. 在直交坐标系O-xy中,炮弹运动的速度与加速度为,(1)在最高点,(2)在落地点,例题3质点M在水平面内运动轨迹如图 ， t=0 时M在O点，质点运动规律 s=30t+5t2 (m)，求t=2s时，质点M的法向和切向加速度.,解,t =2 s = 80m v = 50m/s,例题4 由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时t
