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1、第三章 多维随机变量及其分布八.课后习题解答及三级测试题答案1.在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中取两次，每一次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样.我们定义随机变量 如下：YX,0,X=一,1Y一试分别就（1） ， （2）两种情况，写出 和 的联合分布律.XY解 由乘法公式容易得 的分布律，易知，放回抽样时),(506PX=61PYY=且 jYPiXiiXjji |, 1,0,ji于是 的分布律为)(XY0 10136253651（）不放回抽样，则 ， ，在第一次抽出一正品后，第650XP61XP二次抽取前的状态：正品 9 个，次品 2 个.故1|0
2、YP20|Y| 1|且 iXPijYjXiYP|1,01,0则 的联合分布律为),(XY 0 10164560610612.盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 表示取到黑X球的只数，以 表示取到红球的只数，求 和 的联合分布律.YXY解 的可能取值为 0，1，2，3， 的可能取值为 0，1，2，总取法为：X 3547C,PPY3512,0203CX,1PYP356,213,1213CYXP50,220311,23CYXP352,023CYXP,120302,3PYXP于是 的联合分布律为Y0 1 2 30 0 0 35521 0 3561232 351 0
3、3. 设随机变量 的概率密度为),(YX其 它,042,6),( yxykyxf（1） 确定常数 k；（2） 求 ；3,1YXP（3） 求 ；5.（4） 求 ；4解 （1）由 有1),(dxyf86(204yxkd故 （2） 3,1YXPdxyf)(302,15C= 83)6(81032dyxkd（3） 5.XP4,1Y327)6(85.042dyxd（4） XPDxyf),(32)681204dkd4.将一硬币抛掷三次，以 表示在三次中出现正面的次数，以 表示三次中出现正XY面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 和 的联合分布律以及 的边缘分布Y),(X律.解 由 为出现正面的次数知，出
4、现反面的次数为 ， X3所以 ， 的值为 0，1，2，3，得 的取值为|32|)3(| XY Y3，1，1，3 且 ，于是5,0b8213, 3PXP1, 213CXY8322,23PXP13,XY而 均为不可能事件，故 和,3,2,1,0 YX X的联合分布律及边缘分布律为Y0 1 2 3 ixp1 0 83830 863 810 0 812ixp38315.设二维随机变量 的概率密度为),(YX其 它,010,28.4),( xyxyxf求边缘概率密度.解 )2(4.)2(8.4),()(0 xdyxdyxff xx 故 其 它,0124.fxdxyfyf)()()10(28.41 xyy
5、注 意 到)3(.y故 其 它,0,)2xxfy6.设二维随机变量 的概率密度为),(YX求边缘概率密度其 它,0),(yxeyxfy解 ，则当 时，dffX),()( 0xxxyXedf)(当 时，由于0)(,0),(ffx，当 时，,)(0yyfYxyYedf0)(在其它情形， 于是，边缘概率密度为其 它,0)(xefyX 其 它,0)(yeyfY 7.设二维随机变量（ ）的概率密度为YX,其 它,01),(2yxCyxf（1）试确定常数 C.（2）求边缘概率密度.解 （1）由 ，有 从而 .12yx102yx1,2yx又由 ),(df有 CdxCyx214)(21412 故 4C（2）
6、)(4),()( 4212xyxyxffX 故 其 它,0,821)(4fX32)(14)()( yydxdxyfyf yY 故 其 它,0127)(5fX8. 将某一医药公司 9 月份和 8 月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为 和 ，XY据以往积累的资料知 和 的联合分布律为YX51 52 53 54 5551 0.06 0.05 0.05 0.01 0.0152 0.07 0.05 0.01 0.01 0.0153 0.05 0.10 0.10 0.05 0.0554 0.05 0.02 0.01 0.01 0.0355 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03（1）求边缘分布
7、律；（2）求 8 月份的订单数为 51 时，9 月份订单的条件分布律.解 （1）因为 51,jyjii yYxXpxP可知其边缘分布为 X51 52 53 54 55 Y51 52 53 54 55kp0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 kp0.28 0.28 0.22 0.09 0.13因为条件分布律：51/,51| yPxXPyxXPii易知，其条件分布律为i 51 52 53 54 5551|yxXPi 28672852859. 以 记某医院一天出生的婴儿的个数， 记其中男婴的个数，记 和 的联合分YXY布律为)!(6.4.7,1mneYnn ,10;,10n（1）求边缘分
8、布律；（2）求条件分布律；（3）特别，写出当 时， 的条件分布律.20XY解 （1）边缘分布律nmP0,nmne014)!(86.7 nm mn014 ).(14.)!(!nnmCe01486.7!nn).(!14,210,)(!14emnYXPY, mnmne)!(86.14.7)!(.!.14nn014!86.!).7(jjme86.14!).(e!).7(14.me,210注意到 ，这里0!kx 86.x（2）条件分布律, mYPnXYnXPmnmee)14.7(!)!(86.14.7.,)!(.86. n,XPYmYPnmnee)14.7(!)!(86.14.7nnmnC.nm,0,)
9、49.0(51. （3） 2,XYP2,1,).(. Cmnmn10. 求1 例 1 中的条件分布律： iXkYP 解 因为 则41 ,4321,kikYiXPi 2XPXP而由 /, iikikY1 k1 2,XP1 2,XYPk1 2 3 k1 2 3 43,Y 4,Y111.在第 7 题中， （1）求条件概率密度 ，特别写出当 时 的条件概)|(|yxfX2YX率密度；（2）求条件概率密度 ，特别，分别写出当 ， 时 的条件)|(yxfY 31概率密度；（3）求条件概率,21|4XYP,21|43P解 由第 9 题知其 它,0),(2yxyxf 其 它, 1),1(8)(42xxfX其
10、它,027)(5yyfY从而（1） )(,)|(| yfxfYYX其 它,010,23yxy其 它,13)21|(2| xyxfYX（2） )(,)|(| xfyxfXYX其 它,01,124xyx其 它,09481)3|(| yxyfXY其 它,152)1|(| yxyfXY（3） 2|4XPdyxfY41| )1( 153241y2|3XPxfXY43| )( 57143d12. 设随机变量（ ）的概率密度为,其 它,011),(xyxf求条件概率密度 ，)|(|fXY)|(|yfYX解 10,21)xdyx(yfyY故 )|xX)(/,xffX即 )|(|yfXY其 它,012y)|(|
11、xfYX)(/(fFY即 )|(|yfYX其 它,01xy13. （1）问第 1 题中的随机变量 和 是否相互独立？XY（2）问第 12 题中的随机变量 和 是否相互独立？XY解（1）放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此独立，不放回抽样，每一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立.（2）因为，两边缘概率密度之积为 ),()(yxfy故 和 不相互独立.XY14.设 和 是两个相互独立的随机变量， 在（0，1）上服从均匀分布， 的概率XY密度为0,21)(yefyY（1）求 和 的联合概率密度；X（2）设含有 a 的二次方程为 ，试求 a 有实根的概率02YXa解（1）依题意 其 他,01)(xy
12、fY由于 和 相互独立，因此 和 的联合概率密度为XX其 它,00,12)(),( yxeyfxfyf yY（2）方程 有实根的充要条件为 ，即 ，从2Xa42YXYX2而方程有实根的概率为dxyfYPD),(2 201xyde)0(1(145.015. 进行打靶，设弹着点 的坐标 和 相互独立，且都服从 分布，规),(YXA),(N定点 落在区域 得 分；点 落在A1|,21yxA得 分；点 落在 得 分.以4|),(22yxyD4|),(23yxD0记打靶的得分.写出 ， 的联合概率密度，并求 的分布律ZXYZ解 ， 相互独立Y于是 )(),(yfxyfX221ye )(21yxe1,2D
13、dfYXP12e2012d21e2),(412DxyfYXP212dPe01221e44 22 YXPYXPYXP)()1(212ee的分布律为Z0 1 2kP21e2e)21(e16. 设 和 是互相独立的随机变量，其概率密度分别为XY0,)(xf 0,)(yFY其中 是常数，引如随机变量YXZ， 当当0,1 （1）求条件概率密度 ；（2）求 的分布律和分布函数.)|(|yxfYXZ救（1）因为 和 相互独立，故0,)(|(| xeffxYX（2） 其 他,)(),( )(yyfyxf yYXdxePZy0)(11yeye0)(01则 0ZP故 的分布律为0 1kP1,0,)(zzxFZ17. 设 和 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为XY，其 它,01)(xf 其 它,0)(yefY求随机变量 的概率密度.Z解 由卷积公式知 的概率密度为XdxzfxzfYZ)()(当 时10defzxz0)()(
