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1、上海市黄浦区2018届高三一模数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知全集，集合，则 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且，则 3. 已知幂函数的图像过点，则该幂函数的单调递增区间是 4. 若是等差数列（）：的前项和，则 5. 某圆锥体的底面圆的半径长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是 6. 过点作圆的切线，则该切线的点法向式方程是 7. 已知二项式展开式，且复数，则复数的模 （其中是虚数单位）8. 若关于、的二元一次线性方程组的增广矩阵是，且是该线性方程组的解，则三
2、阶行列式中第3行第2列元素的代数余子式的值是 9. 某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者（其中男生2人、女生5人）中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人，若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是 （结果用数值表示）10. 已知的三个内角、所对边长分别为、，记的面积为，若，则内角 （结果用反三角函数值表示）11. 已知函数，关于的方程有7个不同实数根，则实数、满足的关系式是 12. 已知正六边形（顶点的字母依次按逆时针顺序确定）的边长为1，点是内（含边界）的动点，设（），则的取值范围是 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知、是空间两个不同的平面，则
3、“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件14. 为了得到函数（）的图像，可以将函数的图像（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位15. 用数学归纳法证明（）时，由到时，不等式左边应添加的项是（ ）A. B. C. D. 16. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的反函数是（ ）A. B. C. D. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知正方体的棱长为2，点、分别是所在棱、的中点，点是面的中心，
4、如图所示.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 已知函数，.（1）若，求的数值；（2）若，求函数的值域.19. 已知椭圆（）的右焦点为，点满足.（1）求实数、的值；（2）过点作直线交椭圆于、两点，若与的面积之比为2，求直线的方程.20. 定义：若函数的定义域为，且存在实数和非零实数 (、都是常数)，使得对都成立，则称函数是具有“理想数对”的函数，比如，函数有理想数对，即，可知函数图像关于点成中心对称图形，设集合是具有理想数对的函数的全体.（1）已知，试判断函数是否为集合的元素，并说明理由；（2）已知函数，证明：；（3）数对和都是函数的理想数对，
5、且当时，若正比例函数（）的图像与函数的图像在区间上有且仅有5个交点，求实数的取值范围.21. 定义运算“”：对于任意， （）（等式的右边是通常的加减乘运算），若数列的前项和为，且对任意都成立.（1）求的值，并推导出用表示的解析式；（2）若，令（），证明数列是等差数列；（3）若，令（），数列满足（），求正实数的取值范围.参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. （或） 12. 二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. C 三. 解答题17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解(1) 联结，依据题意可知
6、，三棱锥的高与的长相等 因为，是棱的中点，故所以，. (2) 联结，又是棱的中点，. 故. 于是，就是异面直线与所成的角(或补角). 可求得，. 所以，异面直线与所成的角的大小是. 18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解 (1)， . (2) 依据题意，可知 于是，. 又，可得，. 因此，. 所以函数的值域是. 19 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解 (1) 椭圆的右焦点为，点满足，则，解得. 由公式，得，所以 (2) 因为直线过焦点，故直线与椭圆总交于两点. 结合图形，可知，的高相同，且，即，则. 设，可得，解得
7、由解得 求得直线的斜率. 所以，所求直线的方程为. 20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解 (1)依据题意，知，若，即.化简得，此等式对都成立，则解得 于是，函数有理想数对. 所以，函数. 证明(2) 用反证法证明. 假设，则存在实数对使得成立. 又，于是，即. 一方面，此等式对都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随变化而变化的实数. 这是矛盾！故假设不成立. 因此，函数不存在理想数对，即. 解(3) 数对都是函数的理想数对， . 函数是以4为周期的周期函数. 由，可知函数的图像关于点成中心对称图形. 又时，. ， 则. 先画出
8、函数在上的图像，再根据周期性，可得到函数的图像如下：；. 由有且仅有一个交点，解得 . 由有且仅有一个交点，解得 . 函数的图像与函数的图像在区间上有且仅有5个交点时，实数的取值范围是. 21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分解 (1) ， ，. 令，得， 当时，有 证明 (2) ， 数列是以首项为、公差为的等差数列 解 (3) 结合(1)，且，即 . 当时，此时，总是满足； 当时，此时，是等比数列 若时，数列是单调递增数列，且时，不满足 若时，数列是单调递减数列，故 . 又，同样恒有成立； 若时，数列是单调递增数列，. 由，即此时当时，满足. 综上，所求实数的取值范围是. 由于考前忙于复习，基本不会花时间了解有关信息，等高考结束后，又不知如何了解到有效信息。所以，无论考前还是考后，家长在报考学校这一环节付出精力较多，也愿意出资获取信息帮助孩子多了解高校信息
