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1、1第三节 刚度矩阵节点载荷与节点位移之间的关系一、单元刚度矩阵1. 单元刚度矩阵x iRy iRx jRy jRx mRy mRijmxy单元 e 是在节点力作用下处于平衡。节点 i 的节点力为（i , j , m 轮换）TixiyiR则单元 e 的节点力列阵为 Tij TxmyxiyxjyR单元应力列阵为2Texy假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元 e 的三个节点的虚位移为 *eTmijuvv单元虚应变列阵为 *xy参照式（3-7） ，则单元虚应变为*eeB作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为： *eTR单元内的应力在虚应变上所做的功为： *Tetdxy根据虚位移原理，可得单元的虚
2、功方程 *eTTeRtdxy或3*eTTeBRtdxy故有 eTtdxy将式（3-10）代入，的（3-27）e eeTDBRttdxy简记为（3-29） eekR-上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）其中（3-TeDBktdxy28） 称之为单元刚度矩阵（简称为单刚） ，是 矩阵。ek 64如果单元的材料是均质的，矩阵 中的元素也是常D量，且在三角形常应变的情况下，矩阵 中的元素也是B常数，当单元的厚度也是常数时，注意到 ，dxy于是单元刚度矩阵可简化为（3-30） TeBDtk将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式：（3-31）6eijimijk其中任一子
3、块 (r，s=i，j，m）是一个 22 子矩阵，rsk为(r，s=i，j，m）TrssBDt（1）对于平面应力问题将 和平面应力问题的弹性矩阵 代入，得Trsrskt52112412rsrsrsrsbcbcEt (r，s=i，j ，m） （3-32）（2）对于平面应变问题将 和平面应变问题的弹性矩阵 代入，得BD121241erskbcbcrsrsEt (r,s=i，j，m） （3-33）（注：是将式（3-32）中的 分别换成 和 ）,E21E2. 单元刚度矩阵的性质（1） 的物理意义ek式（3-29）可完整写为61341561223345512534666iijjmeUkkkVkkkUVii
4、jjmeuvuv可见每个节点在 x 和 y 方向上有二个平衡方程，3 个节点共有六个平衡方程。单元刚度矩阵 中的任一元素称为刚度系数，其物理ek意义为：-当单元的第 j 个节点有单位位移，而其它节点位移为ijk零时，需在单元第 i 个节点位移方向上施加的节点力的大小。例如， 表示是第 3 个节点有水平（x）方向单位位移23（即 ）时，而其它节点位移分量均为零时，在第 2 个1u节点所引起的铅垂（y）方向的节点力。（2）单元刚度矩阵只取决于单元形状，大小，方向和弹性常数，而与单元的位置无关。即 不随单元坐标平移而ek改变，这叫单元刚度的平移原理。7a a ai jm ij mi jm ij m1
5、23456 例如图示结构，有 (1)(3)k另外，可以证明 ()(2)B则有 1即单元旋转 后，单元刚度矩阵相等。这是单元刚度旋180转原理。 （3） 单元刚度矩阵是对称矩阵。因为 TekBDt所以有 TTetTTBtTBtek（4） 单元刚度矩阵是奇异矩阵。即 0ek因为 eRk8当节点位移已知时，节点力是唯一确定的，而 已知时，eR不能唯一确定，因为单元没有支承，可以产生任意的e刚体位移。根据上述性质：对于上图结构，在节点力为零时，单元仍可产生刚体位移，即 012134156Ukuvkuvkuviiijjm此时 ， ，单元产生0jm0刚体位移 ， 为任意的。故有0v1351246kukkv
6、由于 的任意性，则,u， 00从而得 1351246kkk同理可得：单元刚度矩阵任意一行（列）元素之和为零。（5） 单元刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。即 0(,)iki9二、 整体分析假设弹性体被分成 m 个单元和 n 个节点，对每一个单元进行前面的运算，则得到 m 组型如eekR的方程。把这些方程集合起来，便可得到表征整体弹性体平衡的刚度方程：10（3-37）21nkR式中 1. -整体结构的节点位移列阵，是由各节点位移按节点号码从小到大顺序排列组成的，即 12TTn其中 （i=1, 2，n ）iiuv1234xyijmijmP3例如图示结构有 1243TTuvuv112. -整体结构的节
7、点载荷列阵， 是由各21nR节点载荷按节点号码从小到大顺序排列组成的，即 2TTn其中 （i=1, 2，n ）iixy例如图示结构有1432402TxyxyTTPRR 2. -整体结构的刚度矩阵（总刚）2nk（1） 的组集（“对号入座”法）2menk例图示结构有单元 112241(1)ijimijkk单元 2 423() 3ijimijkk注：在单元刚度矩阵中，各子块的下标表示该子块在总刚中的位置。则总刚为 (1)()(1)2423()()()3121444800kk （2）总刚的性质. 整体刚度矩阵的物理意义13中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一个K节点在坐标轴方向发生单位位移，而其
8、它节点都保持为零状态，在各节点上所需要加施加的节点力。由式可以看出，令节点 1 在坐标轴 x 方向有单位位移，即 ，而其余的节点位移为零时，即1uv1=u2=v2=u3=v3= u2n=v2n=0，这样就可得到节点载荷列阵等于总刚 的第一列元素组成的列阵，即k1234(21)(TnxyxyRRKK . 总刚 是对称矩阵k . 总刚 是奇异矩阵. 总刚 主对角线上的元素恒为正，即0(1,2)i n. 总刚 是一个稀疏矩阵。若遵守一定的节点编号k规则，则非零元素集中在主对角线附近呈带状分布。单元越多，总刚 越稀疏。同属于一个单元的两个节点0,/rssrk号码非零元素集中在主对角线两侧，在包括对角线
9、元素在内14的半个带形区域中，具有最多元素的数目称为最大半带宽（半带宽） ，用 B 表示：2 n2 nBB=（max单元节点号码的最大差值+1）节点自由度数半带宽取决于节点号码的最大差值。半带宽越窄，计算机的存储量就越少。所以，在划分有限元网格进行节点编号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中两节点的号码差尽可能地小，以便使半带宽小，节省存储空间，提高计算效率。而且还可以大幅度减少求解方程所需的运算次数，其效果对大型结构显得尤为突出。1 01 2 3 4 56 7 8 91234567891 0（a） （b）15对于图（a） B=(7-1)+12=14对于图（b） B=(4-1)+12=8. 总刚 的存储方式k通常的有限元程序，一般都利用总刚的对称性和稀疏性的特点，在计算时采用：半带宽存储- 只存储上半带的元素一维变带宽存储分块一维变带宽存储
