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1、第一部分 函数图象中点的存在性问题11因动点产生的相似三角形问题 12因动点产生的等腰三角形问题 13因动点产生的直角三角形问题 14因动点产生的平行四边形问题15因动点产生的面积问题16因动点产生的相切问题17因动点产生的线段和差问题第二部分 图形运动中的函数关系问题21由比例线段产生的函数关系问题第三部分 图形运动中的计算说理问题31代数计算及通过代数计算进行说理问题32几何证明及通过几何计算进行说理问题第四部分 图形的平移、翻折与旋转41图形的平移42图形的翻折43图形的旋转44三角形45四边形46圆47函数的图象及性质11 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，
2、其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知AD，探求ABC与DEF相似，只要把夹A和D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用
3、到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减图1 图1 图2例 1 湖南省衡阳市中考第28题二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,3m)（m0），顶点为D（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m2时，点P为第
4、三象限内抛物线上的一个动点，设APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相似？动感体验 请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，APC的面积最大拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，ACD和ADC都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结OP，APC可以割补为：AOP与COP的和，再减去AOC3讨论ACD与OBC相似，先确定ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似4直角三角形ACD存在两种情
5、况图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，设ya(x3)(x1)代入点C(0,3m)，得3m3a解得am所以该二次函数的解析式为ym(x3)(x1)mx22mx3m（2）如图3，连结OP当m2时，C(0,6)，y2x24x6，那么P(x, 2x24x6)由于SAOP(2x24x6)3x26x9， SCOP3x，SAOC9，所以SSAPCSAOPSCOPSAOC3x29x所以当时，S取得最大值，最大值为图3 图4 图5 图6（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E过点A作x轴的垂线交DE于F由ym(x3)(x1)m(x1)24m，得D(1,4m)在RtOBC中，O
6、BOC13m如果ADC与OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为13m如图4，当ACD90时，所以解得m1此时，所以所以CDAOBC如图5，当ADC90时，所以解得此时，而因此DCA与OBC不相似综上所述，当m1时，CDAOBC考点伸展 第（2）题还可以这样割补： 如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H由直线AC：y2x6，可得H(x,2x6)又因为P(x, 2x24x6)，所以HP2x26x因为PAH与PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以SSAPCSAPHSCPH(2x26x) 例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，
7、AB/CD，ADAB，B60，AB10，BC4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设APx21cnjy（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；图1（3）设ADP与PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若SS1S2，求S的最小值. 动感体验 请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已思路点拨1第（2）题先确定PCB是直
8、角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（3）题理解PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式图文解析（1）如图2，作CHAB于H，那么ADCH在RtBCH中，B60，BC4，所以BH2，CH所以AD（2）因为APD是直角三角形，如果APD与PCB相似，那么PCB一定是直角三角形如图3，当CPB90时，AP1028所以，而此时APD与PCB不相似图2 图3 图4如图4，当BCP90时，BP2BC8所以AP2所以所以APD60此时APDCBP综上所述，当x2时，APDCBP（3）
9、如图5，设ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点设PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F设AP2m作OMBP于M，那么BMPM5m在RtBEF中，BE2，B60，所以BF4在RtOFM中，FMBFBM4(5m)m1，OFM30，所以OM所以OB2BM2OM2在RtADP中，DP2AD2AP2124m2所以GP23m2于是SS1S2(GP2OB2)所以当时，S取得最小值，最小值为图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题问题1，为什么设AP2m呢？这是因为线段ABAPPMBMAP2BM10这样BM5m，后续可以减少一
10、些分数运算这不影响求S的最小值问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FMBMBF(5m)41m此时OB2BM2OM2这并不影响S关于m的解析式例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线yx3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线yx2bxc经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PE/y轴，
11、交AB于点E，过点Q作QF/y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF/PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ与BOP有一次机会相似思路点拨1在APQ中，A45，夹A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ2先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E
12、、F的坐标，根据PEQF列方程就好了3MBQ与BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由yx3，得A(3, 0)，B(0, 3)将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入yx2bxc，得 解得所以抛物线的解析式为yx22x3（2）在APQ中，PAQ45，AP3t，AQt分两种情况讨论直角三角形APQ：当PQA90时，APAQ解方程3t2t，得t1（如图2）当QPA90时，AQAP解方程t(3t)，得t1.5（如图3）图2 图3图4 图5（3）如图4，因为PE/QF，当EF/PQ时，四边形EPQF是平行四边形所以EPFQ所以yEyPyFyQ因为xPt，xQ3t，所以yE3t，yQt，yF(3t)22(3t)3t24t因为yEyPyFyQ，解方程3t(t24t)t，得t1，或t3（舍去）所以点F的坐标为(2, 3)（4）由yx22x3(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB3由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM所以MBQBOP90因此MBQ与BOP相似存在两种可能：当时，解得（如图5）当时，整理，得t23t30此方程无实根考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3t, t)，按照PE方向，将点
