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1、规范练(六)函数与导数1已知函数f(x)ax2xxln x.(1)若a0，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)2，且在定义域内f(x)bx22x恒成立，求实数b的取值范围解(1)当a0时，f(x)xxln x，函数定义域为(0，)f(x)ln x，由ln x0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是减函数(2)由f(1)2，得a12，a1，f(x)x2xxln x，由f(x)bx22x，得(1b)x1ln x.又x0，b1恒成立令g(x)1，可得g(x)，由g(x)0，得x1.g(x)在(0,1上单调递减，
2、在1，)上单调递增，g(x)ming(1)0，b的取值范围是(，02设f(x)ex(ax2x1)(1)若a0，讨论f(x)的单调性；(2)x1时，f(x)有极值，证明：当时，|f(cos )f(sin )|2.(1)解f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)aex(x)(x2)，当a时，由f(x)ex(x2)20，所以f(x)在R上单增递增；当0a时，由f(x)0，得x2或x；由f(x)0，得x2，f(x)在和(2，)上单调递增，在上单调递减当a时，由f(x)0，得x或x2，由f(x)0，得2x，f(x)在(，2)和)上单调递增，在上单调递减(2)证明x1时，f(x)有极值，f(1)3e(a
3、1)0，a1，f(x)ex(x2x1)，f(x)ex(x1)(x2)由f(x)0，得2x1，f(x)在2,1上单增，sin ，cos 0,1，|f(cos )f(sin )|f(1)f(0)e12.3已知函数f(x)x3ax2bxc在(，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点(1)求b的值；(2)求f(2)的取值范围；(3)设g(x)x1，且f(x)g(x)的解集为(，1)，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x22axb当x0时，f(x)取到极小值，即f(0)0，b0.(2)由(1)知，f(x)x3ax2c，1是函数f(x)的一个零点，即f(
4、1)0，c1a.f(x)3x22ax0的两个根分别为x10，x2.又f(x)在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，x21，即a.f(2)84a(1a)3a7.故f(2)的取值范围为(，)(3)法一由(2)知f(x)x3ax21a，且a.1是函数f(x)的一个零点，f(1)0，g(x)x1，g(1)0，点(1,0)是函数f(x)和函数g(x)的图象的一个交点结合函数f(x)和函数g(x)的图象及其增减特征可知，当且仅当函数f(x)和函数g(x)的图象只有一个交点(1,0)时， f(x)g(x)的解集为(，1)即方程组只有一解：.由x3ax21ax1，得(x31)a(x21)(x
5、1)0，即(x1)x2(1a)x(2a)0，x1或x2(1a)x(2a)0，由方程x2(1a)x(2a)0，得(1a)24(2a)a22a7，当0，即a22a70，又因为a，解得a21.此时方程无实数解，方程组只有一个解所以a21时，f(x)g(x)的解集为(，1)法二由(2)知f(x)x3ax21a，且a.1是函数f(x)的一个零点，f(x)(x1)x2(1a)x1a又f(x)g(x)的解集为(，1)，f(x)g(x)(x1)x2(1a)x2a0的解集为(，1)x2(1a)x2a0恒成立(1a)241(2a)0.a22a70，(a1)28.又a，a21，a的取值范围为.4已知函数f(x)ax
6、ln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值；(3)当a1时，试推断方程|f(x)|是否有实数解解(1)当a1时，f(x)xln x(x0)，f(x)1，当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数，f(x)maxf(1)1，(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10不合题意若a，则由f(x)0a0，即0x.由f(x)0得a0，即xe.从而f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf1ln令1ln
7、3，则ln2，e2，即ae2.e2，ae2为所求(3)由(1)知当a1时，f(x)maxf(1)1，|f(x)|1又令g(x)，g(x).令g(x)0，得xe.当0xe时，g(x)0，g(x)在(0，e)上单调递增，当xe时，g(x)0，g(x)在(e，)上单调递减，g(x)maxg(e)1，g(x)1，|f(x)|g(x)，即|f(x)|，方程|f(x)|没有实数解21（本题满分14分）已知函数，（1）若求曲线在处的切线的斜率；（2）求的单调区间；（3）设若存在对于任意使 求 的范围。解：(I) 综上：的单调增区间为的单调增区间为减区间为一定符合题意，当的单调增区间为减区间为由题意知，只需满
8、足综上：21已知函数f（x）=xlnx，g（x）=2x3（1）证明：f（x）g（x）；（2）证明：（1+12）（1+23）（1+20142015）e220143考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）构造函数F（x）=f（x）g（x），利用导数求出函数的最小值为3e，问题得证（2）由题意得得，令x=1+n（n+1），利用放缩法加以证明解答：证明：（1）令F（x）=f（x）g（x）=xlnx2x+3，（x0）F（x）=lnx+12=lnx1，令F（x）=0，解得x=e，x（0，e），F（x）0，x（e，+），F（x）0，当x=e时函数F（x）有最小值，即为F（e）=eln
9、e2e+3=3e0，故f（x）g（x）（2）由（1）xlnx2x3，得，令x=1+n（n+1），故，=即ln220143则（1+12）（1+23）（1+20142015）e220143成立 故问题得以证明点评：本题主要考查了导数以函数的最值的关系，以及利用放缩法证明不等式成立的问题，属于中档题22已知函数f（x）=（xe）（lnx1）（e为自然对数的底数）（）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（）若m是f（x）的一个极值点，且点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）满足条件：（1lnx1）（1lnx2）=1求m的值；若点P（m，f（m），判断A，B，P三点是否可以构成直角三角形？请说
10、明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的综合应用分析：（）求出导数和切线的斜率，及切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程；（）求出导数，讨论当0xe时，当xe时，导数的符号，即可判断极值点，求出P点；讨论若x1=e，若x1=x2，与条件不符，从而得x1x2计算向量PA，PB的数量积，即可判断PAPB解答：解：（），f（1）=e，又f（1）=e1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y（e1）=e（x1），即ex+y2e+1=0 （）对于，定义域为（0，+）当0xe时，lnx1，；当x=e时，f（x）=11=0；当xe时，lnx1，f（x）存在唯
11、一的极值点e，m=e，则点P为（e，0）若x1=e，则（1lnx1）（1lnx2）=0，与条件（1lnx1）（1lnx2）=1不符，从而得x1e同理可得x2e若x1=x2，则，与条件（1lnx1）（1lnx2）=1不符，从而得x1x2由上可得点A，B，P两两不重合=（x1e）（x2e）+（x1e）（x2e）（lnx11）（lnx21）=（x1e）（x2e）（lnx1lnx2lnx1x2+2）=0从而PAPB，点A，B，P可构成直角三角形点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求极值，考查运用向量的数量积为0，证明线段垂直的方法，属于中档题2.(2015长春模拟)已知函数f(x)=1-,g(x
12、)=x-lnx.(1)证明:g(x)1.(2)证明:(x-lnx)f(x)1-.【证明】(1)g(x)=,当0x1时,g(x)1时,g(x)0,即g(x)在(0,1)上是减少的,在(1,+)上是增加的.所以g(x)g(1)=1,得证.(2)f(x)=1-,f(x)=,所以0x2时,f(x)2时,f(x)0,即f(x)在(0,2)上是减少的,在(2,+)上是增加的,所以f(x)f(2)=1-,又由(1)x-lnx1,所以(x-lnx)f(x)1-.3.(2015合肥模拟)若f(x)=其中aR.(1)当a=-2时,求函数f(x)在区间上的最大值.(2)当a0时,若x1,+),f(x)a恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=-2,xe,e2时,f(x)=x2-2lnx+2,因为f(x)=2x-,所以当xe,e2时,f(x)0,所以函数f(x)=x2-2lnx+2在e,e2上是增加的,故f(x)max=f(e2)=(e2)2-2lne2+2=e4-2.(2)当xe时,f(x)=x2+alnx-a,f(x)=2x+,因为a0,f(x)0,所以f(x)在e,+)上是增加的,故当x=e时,f(x)min=f(e)=e2;当1xe时,f(x)=x2-alnx+
