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1、1.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（4，5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PCx轴于点C，交AB于点D（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PMAB，垂足为M，连接PA使PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标2. 在直角坐标系中，、，将经过旋转、平移变化后得到如图所示的.（1）求经过、三点的抛物线的解析式；（2）连结，点是位于线段上方的抛物线上一动点，若直线将的面积分成两部分，求此时点的坐标；
2、（3）现将、分别向下、向左以的速度同时平移，求出在此运动过程中与重叠部分面积的最大值.3. 如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.若直线ymxn经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标第25题图4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接C
3、E，已知点A，D的坐标分别为（2，0），（6，8）（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q试探究：当m为何值时，是等腰三角形5. 如图，抛物线y=ax2+bx5（a0）经过点A（4，5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且BEO=ABC，求点E的坐标
4、6. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（9，0）和C（0，4）CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；（2）若RtAOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到RtA1O1F，求此时RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；（3）若RtAOC沿x轴向右平移t个单位长度（0t6）得到RtA2O2C2，RtA2O2C2与RtOED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围7. 如图，抛物线
5、y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECD=ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（1，1），B（2，2）过点B作BCx轴，交抛物线于点C，交y轴于点D（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；（2）若抛物线上存在点M，使得BCM的面积为，求出点M的坐标；（3）连接
6、OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得AOC与OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标1.【解答】解：（1）直线y=x3交于A、B两点，其中点A在y轴上，A（0，3），B（4，5），抛物线解析式为y=x2+x3，（2）存在，设P（m，m2+m3），（m0），D（m， m3），PD=|m2+4m|PDAO，当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，|m2+4m|=3，当m2+4m=3时，m1=2，m2=2+（舍），m2+m3=1，P（2，1），当m2+4m=3时，m1=1，m2=3，、m1=1，m2+m3=，P（1，），、m2=3，m2+m3=，P（3，），点P的坐标
7、为（2，1），（1，），（3，）（3）如图，PAM为等腰直角三角形，BAP=45，直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45所得，设直线AP解析式为y=kx3，直线AB解析式为y=x3，k=3，直线AP解析式为y=3x3，联立，x1=0（舍）x2=当x=时，y=， P（，）2. 解析：（1）、，将经过旋转、平移变化得到如图所示的，.(1分)设经过、三点的抛物线解析式为，则有，解得：. 抛物线解析式为.（2）如图4.1所示，设直线与交于点. 直线将的面积分成两部分，或，过作于点，则. ,.当时，.设直线解析式为，则可求得其解析式为，（舍去）， .当时，同理可得.（3）设平移的距离为，与重叠部
8、分的面积为.可由已知求出的解析式为，与轴交点坐标为.的解析式为，与轴交点坐标为. (9分) 如图4.2所示，当时，与重叠部分为四边形.设与轴交于点，与轴交于点，与交于点，连结.由，得 ，.(10分) . 的最大值为.如图所示，当时，与重叠部分为直角三角形. 设与轴交于点， 与交于点.则，.当时，的最大值为.综上所述，在此运动过程中与重叠部分面积的最大值为.3. （1）依题意，得解之，得抛物线解析式为对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0），B（3，0）把B（3，0）、C（0，3）分别直线ymxn，得 PC2(1)2(t3)2t26t10.若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t
9、10. 解之,得t2.若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2解之，得t4若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即 4t2t26t1018解之，得t1，t24. 解答：（1）抛物线经过点A（2，0），D（6，8），解得抛物线的函数表达式为，抛物线的对称轴为直线又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0）点B的坐标为（8，0）设直线l的函数表达式为点D（6，8）在直线l上，6k=8，解得直线l的函数表达式为点E为直线l和抛物线对称轴的交点点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为（3，4）（2）抛物线上存在点F，使点F的坐标为（）或（）（3）解法一：分两种情况： 当
10、时，是等腰三角形点E的坐标为（3，4），过点E作直线ME/PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则，点M的坐标为（0，5）设直线ME的表达式为，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得，解得x=15，点H的坐标为（15，0）又MH/PB，即，当时，是等腰三角形当x=0时，点C的坐标为（0，8），OE=CE，又因为，CE/PB设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，解得，CE的函数表达式为，令y=0，得，点N的坐标为（6，0）CN/PB，解得综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形解法二：当x=0时， ，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（3，4），OE=CE，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴
11、于点H分两种情况： 当时，是等腰三角形，CE/PB又HM/y轴，四边形PMEC是平行四边形，HM/y轴， 当时，是等腰三角形轴，轴，当m的值为或时，是等腰三角形5. 解：（1）抛物线y=ax2+bx5与y轴交于点C，C（0，5），OC=5OC=5OB，OB=1，又点B在x轴的负半轴上，B（1，0）抛物线经过点A（4，5）和点B（1，0），解得，这条抛物线的表达式为y=x24x5（2）由y=x24x5，得顶点D的坐标为（2，9）连接AC，点A的坐标是（4，5），点C的坐标是（0，5），又SABC=45=10，SACD=44=8，S四边形ABCD=SABC+SACD=18（3）过点C作CHAB，垂
12、足为点HSABC=ABCH=10，AB=5，CH=2，在RTBCH中，BHC=90，BC=，BH=3，tanCBH=在RTBOE中，BOE=90，tanBEO=，BEO=ABC，得EO=，点E的坐标为（0，）6. 解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（9，0）和C（0，4）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x9），C（0，4）在抛物线上，4=27a，a=，设抛物线的解析式为y=（x+3）（x9）=x2+x+4，CD垂直于y轴，C（0，4）x2+x+4=4，x=6，D（6，4），（2）如图1，点F是抛物线y=x2+x+4的顶点，F（3，），FH=，GHA1O1，GH=1，
13、RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，S重叠部分=SA1O1FSFGH=A1O1O1FGHFH=341=（3）当0t3时，如图2，C2O2DE，O2G=t，S=SOO2G=OO2O2G=tt=t2，当3t6时，如图3，C2HOC，C2H=（6t），S=S四边形A2O2HG=SA2O2C2SC2GH=OAOCC2H（t3）=34（6t）（t3）=t23t+12当0t3时，S=t2，当3t6时，S=t23t+127. 解：（1）抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x4），8a=4，a=，抛物线解析式为y=（x+2）（x4）
