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1、完全平方数目录一、定义二、基础性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、范例 1. 例12. 例23. 例34. 例45. 例56. 例67. 例78. 例8七、讨论题一、定义及表达式1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。1.1例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，2、标准分解式：大于1的平方数n的标准分解式如下： （1）其中是质数，是自然数。2.1例如：二、基础性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,4
2、9,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：1、性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9.（此为完全平方数的必要不充分条件）证明：设为完全平方数，是的个位数，则的个位数与的个位数相同。利用整数同余的知识有如果，那么又的全体是集合，的全体是，的个位数全体是。所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。证明 奇数必为下列五种形式之一
3、：分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。3、性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明 已知，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则或 即 或 k为奇数。推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。4、性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。证明：这是因为 5、性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。在性质4的证明中，由k(
4、k+1）一定为偶数可得到 是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。6、性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得同理可以得到：7、性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为型，是5的因数或倍数的数为型。证明：自然数被5除按余数的不同可以分为五类：为自然数。，.8、性质8：形式具有下列形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9.证明：自然数被8除按余数的不同可以分为八类：，为自然数。除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的
5、各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。下面证明这个命题。证明：设自然数 是之一，那么是9的倍数。即关于完全平方数的数字和有下面的性质：9、性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k1,9k2,9k3,9k4这几种形式，而除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：10、性质1
6、0：（是自然数）为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。证明 充分性：设b为完全平方数，则有 是那么 是完全平方数。必要性：若为完全平方数，则有，则有是的倍数，从而是的倍数，设，则有，推出是完全平方数。11、性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。即若 则k一定不是整数。13、性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个正因数（
7、包括1和n本身）。证明一：设完全平方数，由初等数论知识得，的正因数的个数是奇数。反之，自然数的正因数的个数是奇数，则均为偶数。从而是完全平方数。证明二：设完全平方数，那么每个小于的正因数，都有一个大于的正因数与之对应，这样的正因数就有偶数个，最后还有1个正因数，从而n有奇数个正因数。三、重要结论1. 个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数。由性质1得到。2. 个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。由性质2得到。3. 个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。由性质3得到4. 形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；5. 形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数
8、；6. 形如5n2型的整数一定不是完全平方数；7. 形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；8. 数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。9. 四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和10. 完全平方数的因数个数一定是奇数。11、如果自然数，且是10的倍数，那么的个位数与的个位数相同。或者更一般的有：如果自然数，且是的倍数，那么的末尾k位数与的的末尾k位数相同。或者如下书写：如果那么证明1（由整数同余式的性质立即可以得到）证明2：已知，那么是的倍数，从而的末尾k位数与的的末尾k位数相同。四、平方式和完全平方数的区别完全平方式分两种：
9、1、完全平方和公式，2、完全平方差公式区别：完全平方式是代数式，完全平方数是自然数。五、特殊的完全平方数1、雷劈数，或名卡布列克数定义为：若正整数X（在n进位下）的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X，那么X就是（n进位下的）卡布列克数。例如552=3025，而30+25=55。印度数学家卡普列加（Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半：一半上写着30，另一半写着25。这时，卡布列克忽然发现30+25=55，552=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字
10、。从此他就专门搜集这类数字。按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”，也叫“分和累乘再现数”。卡氏数可以指平方后的数，亦可指平方前的数，常常不加区分。求法人们容易找到其他的数也具有这样的性质。例如，易知2025具有该性质：20+25=45，452=2025。求雷劈数的方法很多，从初等数学到高等数学，应有尽有。以下是两种最简单的办法（以两位数+两位数为例）：方法一设该数的前两位为x，后两位为y，根据定义，有(x + y)2 = 100x + y即 x2 + 2(y - 50)x + y2 - y = 0。该方程的判别式D=4(2500 - 99y)必须
11、是完全平方数，而y本身也必须是平方数的尾数，故可求得y等于1或25，从而求得四个结果2025，3025，9801和0001（舍去）。方法二同样设该数的前两位为x，后两位为y。于是有(x + y)2 = 100x + y = x + y + 99x(x + y)(x + y - 1) = 99x从而看出x + y与x + y - 1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），从而找出候补者44，55和99。下略。用以上方法，亦可找到其他位数的雷劈数，如77772 = ；6048 + 1729 = 7777。目前最小的雷劈数是81简单性质一般而言，考察雷劈数时，一
12、般不考虑分割后的一部分全部为0的情况（如10+0）。亦不考虑由0开始的数字（如0+1）。最小的奇雷劈数是92 = 81。最小的雷劈偶数是100:10+0=10 10=100如果M2是雷劈数，那么(10.0 - M)2也是雷劈数.证明：设M2是雷劈数，可以分割成x和y两部分，且M=x+y，y为n位数，则M2=10n*x+y（雷劈数定理）然而(10n-M)2=10(2n)-2M*10n+M2=10(2n)-2M*10n+10n*x+y=10(2n)-2M*10n+10n*(M-y)+y=10n*(10n-M-y)+y同样满足雷劈数方程。在二进制下，所有的完全数都是卡布列克数（同雷劈数）。雷劈数表以
13、下用x|y表示一个平方数N可以分割为x和y两部分，(x + y)2 = N。y是一位数：10x + y = (x + y)2N=0|0, 10|0, 0|1, 8|1有意义的数只有92 = 81。y是两位数：100x + y = (x + y)202 = 0|00, 1002 = 100|00452 = 20|25, 552 = 30|25992 = 98|01, 12 = 0|01其中有意义的数是452=2025, 552=3025。0|0.0, 0|0.1, 10.0|0.0这三种属于平凡解，下略。根据上节的性质，雷劈数必然成对存在；但9.98|0.01是比较特殊的一类，与其成对的0|0.
14、1属于平凡解。y是三位数：1000x + y = (x + y)22972 = 88|2097032 = 494|2099992 = 998|001y是四位数：10000x + y = (x + y)222232 = 494|172977772 = 6048|172927282 = 744|198472722 = 5288|198449502 = 2450|250050502 = 2550|250099992 = 9998|0001y是五位数：x + y = (x + y)2951212 = 90480|0464148792 = 238|04641826562 = 68320|14336173442 = 3008|14336777782 = 60494|17284222222 = 4938|17284999992 = 99998|00001y是六位数：x + y = (x + y)22 = |, 52922 = 28|2 = |, 389622 = 1518|2 = |, 2 = 20408|2 = |, 2 = 21948|2 = |, 2 = 33058|2 = |, 2 = 35010|2 = |,
