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1、第四章 转动参照系4.1 平面转动参照系考虑一旋转的平面参照系 ，记为 （如平板） ，其角速度 沿 轴，其原点与静止oxyS z坐标系 ： 的原点 重合。令单位矢量 、 固着在平板上的 轴和 轴上， 可表为Soijxy。再考虑平板上的运动质点 ，站在 系上看，其位矢为kP， （4.1.1）ryx而站在 系上看，即为：。 （4.1.1）)()()(tttji由极坐标下的公式（即 1.2.8） ijdt可得， （4.1.2）jitit对（4.1.1）关于 求导，得质点 对静坐标系 的速度（不是对动坐标系平板，因为对tPS于平板而言，有 ）为0dji dtzydtxzyxt kjikjirv（4.1
2、.3）)()(其中 应为相对速度（即对转动参照系而言） ； 应为牵连jiyx 0vrjix速度（ ） ，故可把式（4.1.3）写为jijikrxyx)(。 （4.1.4）rv此与刚体力学中的公式 比较可见此处多出了相对速度 这一项，原因是刚体那里rvv质点间没有相对运动。还可求得 点对静止坐标系 的加速度：PS（4.1.5）jijia xyxyxyxdt )2()2( 22其中为相对加速度；jiyx为平板转动引起的向心加速度；r22为平板作变角速转动引起的切向加速度（匀速转动时为 0） ；向心加速度 + 切向加速度 = 牵连加速度；为科里奥利加速度。vji22xy故（4.1.5）式又可写成（4
3、.1.6）vra2或简写为。 （4.1.7）cta其中：（相对加速度） ；ajiyx（牵连加速度） ；r2t（科里奥利加速度） 。cv分析一下科氏加速度是怎样产生的：在静系 上看来，牵连运动（即 ）可使相对速度 发生改变，而相对运动（即 ）Sv v又同时使牵连速度 中的 发生改变。换言之，即科氏加速度 是由牵连运动与相r v2对运动相互影响所产生的。可见，转动参照系有别于平动参照系，前者多出了一种新的所谓科氏加速度。4.2 空间转动参照系现讨论更一般的空间转动参照系。令转动坐标系 的原点与静止坐标系 的原点 重合， 、 、 为 系上的单位矢量。S SoijkS任一矢量 在 系上可写为G（4.2
4、.1）jiGzyx在静系 上看到的 的变化率应为（4.2.2）dtGtdttdttd zyxzyx jikji又 ，有rvt（4.2.3）kjiidtt（4.2.3）代入（4.2.2） ，得 GjiGtttdzyx（4.2.4）d*其中 是 、 、 固定不动时 的变化率，称为相对变化率dtG*kjidtGttzyxijG（或地方变化率） ，它表示相对于 的变化率；另一部分 则是由于参照系 转动并带S S动 一起转动所产生的牵连变化率。由（4.2.4）知（4.2.5）rrvdt*式中 为质点 相对于 系的相对速度； 是 系转动所产生的牵连速度。vrdt*PSS再求绝对加速度，类似于上有（4.2.
5、6）vvadt*将（4.2.5）代入（4.2.6） ，得 )(*2 rrra tttdt+ （4.2.7）)d2又以 表示相对加速度，则有： ；a a2*dtr另外又有（4.2.9）rr2*)()(dtt故（4.2.7）式可改写成（4.2.10）cta其中 tad*r)(rdtr2)(ct2v可见这里 比（4.16）式（即 ）更复杂。vra2特例：当 系以匀角速度转动时， （ 为 点垂直引向转动轴的矢量） 。S Rt P这时方程（4.2.10）简化为。 （4.2.12）2推广到更一般情形，即 系的原点 与 系的原点不重合，且有速度 和加速度oS0v时，则有0a rvrdtt*0由二重外积公式：
6、 cbac)()(和 ctaa0（这时 是牵连速度的一部分，即属于 之中； 是牵连加速度的一部分，即属于 之0vtv0 ta中。此外注意 应改写为 ） 。r【注意】：“绝对” 矢量都是在静系中看到的，若从动系上看，只能看到“相对”矢量。4.3 非惯性系动力学（二）（1）平面转动参照系上两节所讲的转动参照系就属于非惯性参照系，当然转动参照系只是非惯性系的一种。对这种参照系，牛顿运动定律不成立，因为 。虽然如此，但在1.6 中我们已知，对a非惯性系，只要将牵连部分作为牵连力（即惯性力） ，那么牛顿定律在形式上就仍然成立。本节研究转动参照系中的动力学，主要问题就是转动参照系中惯性力应当如何表达。本段
7、在平面转动参照系上研究问题。已知（4.1.6）： vra2(4.3.1)(4.3.2)F mm可见对于平面转动参照系 而言，如果添上三种惯性力，那么牛顿定律形式上仍对 系成S S立。这三种惯性力就是：由变角速转动引起的“变角速惯性力”： ；r由 系转动引起的“惯性离心力”： ； 2由 系转动及质点相对 系运动引起的“科里奥利力”： 。 v（2）空间转动参照系对于空间转动坐标系，与上述平面转动参照系类似，它也是非惯性参照系，故也要加上适当的惯性力后，牛顿定律才能形式上成立。由（4.2.10）式（即 ）可知，cta当 系的原点 和 系的原点 重合，并且 绕 点以角速度 转动，且 不一定为恒矢SoS
8、oSo量时，则（4.3.3）cta设质点质量为 ，受力为 ，则因 ，所以若将上式乘一 ，就可得mFmm（4.3.4）ctF或 （4.3.5）vrra 2)(可见，因 的转动，也产生了三种惯性力：S变角速惯性力： 惯性离心力： )(2科里奥利力： vm2如果 系以匀角速度 转动，则由式（4.2.12） （即 ）可得SvRa2。 (4.3.6)Fa进一步，考虑更一般的情况。如果 系的原点 不与 系的原点 重合，且 对 的SoSoo加速度为 ，则由上节可得0a(4.3.7)vrr mm2)(0（3）相对平衡若质点 固于 系不动 PS 0vac0tmF物理意义：如果在非惯性系中看到质点是平衡的（不动）
9、，则一定是主动力与牵连惯性力（包括平动惯性力、变角速惯性力、瞬时惯性离心力）以及还 可能存在着的约束反力相平衡。4.4 地球自转所产生的影响（1）惯性离心力地球有公转和自转，属非惯性参照系；公转角速度很小，所产生的惯性离心力，约与太阳引力抵消；自转角速度也很小（7.310 -5 弧度/秒） ，但却产生了一些可以观察到的现象；考虑地球自转，可认为角速度为恒矢（即 ） ，故可忽略变角速惯性力。还进一0步，若质点相对于地球静止（即 ） ，则又可忽略科里奥利力，因此这种情况下只需考0v虑剩下的惯性离心力。因重力=引力+ 离心惯性力，故惯性离心力的作用常使重力小于引力。（2）科里奥利力研究地球上质点的运动时，因质点离地轴距离的变化不大，故可忽略惯性离心力，从而认为引力等于重力。这时就可只考虑科氏力的影响。由此可得出质点在地球上运动的微分方程：（4.4.3）cos2)in(ymgFzzxyx应用：1. 贸易风。2. 轨道磨损和河流冲刷。
