《2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教a版选修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教a版选修（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数,主题1 函数的单调性与导数的关系 1.如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数 h(t)4.9t26.5t10的图象，图2表示高台跳水 运动员的速度v随时间t变化的函数 v(t) h(t)9.8t6.5的图象.,(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的 增加而增加,即t(0,a)时，h(t)是单调_. 此时,v(t)=h(t)=-9.8t+6.50. (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的 增加而减少,即t(a,b)时，h(t)是单调_. 相应地,v(t)=h(t)=-9.8t+6.50.,递增,递减,2.观
2、察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系， (1)观察图象，完成下列填空.,图中的函数yx的导函数y_，此函数的单调 递增区间为_；,1,(，),图中的函数yx2的导函数y_，此函数的单 调递增区间为_，单调递减区间为_. 图中的函数yx3的导函数y_，此函数的单 调递增区间为_； 图中的函数y 的导函数y ，此函数的 单调递减区间为_.,2x,(0，),(，0),3x2,(，),(，0)，(0，),(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系，思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系？,提示：根据(1)中的结果可以看出，函数的单调区间与导函数的正负有关，当导函数在某区间上大于
3、0时，此时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于0时，此时对应的函数为减函数.,3.观察下图，,请完成下表:,减,正,正,0,0,结论：在区间(a,b)内函数的单调性与导数的关系,增,减,主题2 函数变化的快慢与导数的关系 1.在同一坐标系中画出函数y2x，y3x，y ， yx2，yx3的图象. 提示：这几个函数的图象如图所示.,2.观察以上函数的图象，当x0时，函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比，你发现了什么？ 提示：增长速度快的，导函数值大，增长速度慢的，导函数值小.,结论：函数变化的快慢与导数间的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的_ _，那么函数在这个范围内变化得快
4、，这时，函数 的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数 的图象就“平缓”.,绝对值,较大,大,小,大,小,【微思考】 1.回忆函数单调性的常规定义，分析用导数研究函 数的单调性与常规定义的联系？ 提示：增函数时有 也即 ， 对式子 求极限，若极限值大于0，则导数大于 0，从而为增函数.,减函数时有 也即 ， 对式子 求极限，若极限值小于0，则导数小于0， 从而为减函数.,2.在区间(a,b)上，如果f(x)0，则f(x)在该区间上单调递增,但反过来也成立吗？ 提示：不一定成立.例如，f(x)x3在R上为增函数，但f(0)0，即f(x)0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件.,3.
5、如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 提示：不能用“”连接，只能用“，”或“和”字隔开，函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集.,【预习自测】 1.函数f(x)=x+ln x在(0,6)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数 C.在 上是减函数，在 上是增函数 D.在 上是增函数，在 上是减函数,【解析】选A.因为x(0,6)，所以 ， 故函数在(0,6)上单调递增.,2.f(x)在(a,b)内可导，若f(x)0，则f(x)在(a,b) 内是( ) A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D
6、.偶函数 【解析】选B.易知导函数f(x)0，f(x)单调递减.,3.函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 【解析】选C.y=-6x，故当x(-1，0)时，y0；当x(0，1)时，y0，所以原函数在区间(-1，1)上先增后减.,4.已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图象中为y=f(x)的大致图象的是( ),【解析】选C.由题图知：当x-1时，xf(x)0，所以f(x)0，函数y=f(x)单调递增； 当-1x0时，xf(x)0，所以f(x)0，函数y=f(x)单调递减；,当0x
7、1时，xf(x)0，所以f(x)0，函数y=f(x)单调递减； 当x1时，xf(x)0，所以f(x)0，函数y=f(x)单调递增.,5.函数y=x-ln x的单调递减区间是 . 【解析】定义域是(0,+),由 及定义域 得0x1,单调递减区间是(0,1). 答案:(0,1),6.求下列函数的单调区间： (1) . (2) .,【解析】(1) . 当x(-，-1)时，f(x)0； 当x(-1,0)时，f(x)0.故f(x)在(-，-1)， (0，+)上单调递增，在(-1,0)上单调递减.,(2)函数的定义域为(0，+)， , 令f(x)0，解得0x1， 令f(x)0，解得x1， 所以f(x)在(
8、0，1)上单调递增，在(1，+)上单调 递减.,类型一 函数单调区间的判断及求解 【典例1】(1)(2015陕西高考)设f(x)=x-sin x， 则f(x)( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数,(2)求函数 的单调区间. 【解题指南】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sin x 的奇偶性，利用导数判断其单调性. (2)先求导，令导函数值大于0，得到增区间，令导函 数值小于0，得到减区间.,【解析】(1)选B.因为 f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x)，所以f(x)为 奇函数.又f(x)=1
9、-cos x0，所以f(x)单调递增， 选B. (2) 的定义域为(0,+)， 则 ，,由f(x)0得6x2-20，即x2 ， 则x 或x (舍). 所以递增区间为 ， 由f(x)0得6x2-20，即 ，则 x ，因为x0，所以0x ， 所以递减区间为 .,【方法总结】利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求导函数f(x). (3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.,【巩固训练】求下列函数的单调区间： (1)f(x)=x-x3. (2)f(x)=x2-ln x.,【解析】(1)f(x)=1-3x2， 令1-3x
10、20，解得 . 因此，函数f(x)的单调减区间为 ， .,(2)函数f(x)的定义域为(0，+). . 因为x0，所以 ，由f(x)0， 解得x ， 所以函数f(x)的单调递增区间为 ； 由f(x)0，解得x ，,又x(0，+)， 所以函数f(x)的单调递减区间为 .,【补偿训练】求下列函数的单调区间： (1) . (2) . 【解析】(1) . 由f(x)0,解得x-1或x1； 由f(x)0，解得-1x1，且x0.,所以函数的单调递增区间为(-,-1),(1,+)； 单调递减区间为(-1,0),(0,1). (2) . 令y0，得x-1； 令y0，得x-1.,因此， 的单调递增区间为(-1，
11、+), 单调递减区间为(-,-1).,类型二 原函数与导函数图象间的关系 【典例2】(1)函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f(x)的图象的大致形状是( ),(2)函数yf(x)在定义域 内可导，其图象如图，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式 f(x)0的解集为 .,【解题指南】(1)利用函数的单调性判断导数的符号，利用导数的符号判断导函数图象的位置(在x轴上方还是下方). (2)当函数单调递减时f(x)0,所以只要找出函数的单调递减区间即可.,【解析】(1)选D.根据图象可知，函数f(x)先单调递减，后单调递增，后为常数，因此f(x)对应的变化规律为先负，后正，后为零. (
12、2)函数yf(x)在区间 和区间 上单调递 减，所以在区间 和区间 上， yf(x)0，,所以f(x)0的解集为 (2，3) 答案： (2，3),【延伸探究】1.若本例(2)中的条件不变，试求不等式f(x)0的解集. 【解析】根据题目中的图象，函数y=f(x)在区间 和区间(1，2)上函数为增函数，所以在 区间 和区间(1，2)上,y=f(x)0， 所以f(x)0的解集为 (1,2).,2.若本例(2)中的条件不变，试求不等式xf(x)0的解集. 【解析】由典例(2)及延伸探究1以及已知条件可知， 当x 时，函数为减函数，则f(x)0； 当x（1，2）时，函数为增函数，则f(x)0. 综上可知
13、：xf(x)0的解集为 （1，2）.,【方法总结】判断函数与导数图象间对应关系的两个关键 第一：要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象. 第二：注意以下两个方面：,(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系：在某个区间(a，b)内，若f(x)0，则yf(x)在(a，b)上单调递增；如果f(x)0，则yf(x)在这个区间上单调递减；若恒有f(x)0，则yf(x)是常数函数，不具有单调性.,(2)导数与函数图象的关系:,【补偿训练】函数f(x)的图象如图所示，则导函数y= f(x)的图象可能是( ),【解析】选D.从原函数y=f(x)的图象可以看出，其在区间(-,0)上是减函数，f(x)0;
14、在区间(0,x1)上是增函数,f(x)0；在区间(x1,x2)上是减函数，f(x)0；在区间(x2，+)上是增函数，f(x)0.结合选项可知，只有D项满足.,类型三 利用函数的单调性求参数的范围 【典例3】(1)若f(x)ax3x在区间1,1上单调递增，求a的取值范围 (2)(2017广州高二检测)设函数f(x)=x2+ax-ln x，aR，若f(x)在区间(0，1上是减函数，求实数a的取值范围.,【解题指南】(1)由f(x)ax3x在区间1,1上单调递增，可得出利用不等式f(x)0在1,1上恒成立，确定a的取值范围 (2)把f(x)在区间(0，1上是减函数，转化为f(x)0对任意x(0，1恒成立.,【解析】(1)f(x)3ax21，因为f(x)在区间 1,1上单调递增，所以f(x)3ax210在 1,1上恒成立当x0时，显然成立，当x0 时， .因为 在x1,0)(0,1 的最大值为 ，所以a . 故a的取值范围是 ，）,(2) . 因为f(x)在区间(0，1上是减函数， 所以f(x)0对任意x(0，1恒成立， 即 对任意x(0，1恒成立， 所以 对任意x(0，1恒成
