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1、第一章 函数一、 填空1、设，则 。2、设 ，则= 。3、的定义域为 。4、 ，则= 。5、 ，则 。6、已知，则= 。7、设函数满足关系式：，则函数= 。8、已知，则= 。9、已知，则其反函数= 。 10、函数由 复合而成。二、选择1、函数，则=（ ） A、 B、 C、 D、2、若是（-，+）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。A、 B、 C、 D3、设函数定义在（0，+）内，为任意正数，若函数单调减少，则有（ ）A、 B、C、 D、4、设函数的定义域为，则的定义域为（ ） A、（0 ，1） B、（1 ，） C、（0 ，e） D、（1 ，e）5、设x表示不超过x的最大整数，则函数为（ ）A、
2、无界函数 B、单调函数 C、偶函数 D、周期函数6、设函数，则是（ ）A、偶函数 B、无界函数 C、周期函数 D、单调函数7、函数在下列哪个区间内有界（ ）A、（-1 ，0） B、（0 ，1） C、（1，2） D、（2 ，3）8、若在（-，+）内单调增加，单调减少，则在（，+）内（ ）A、单调增加 B、单调减少 、不是单调函数、增减性难以判定三、计算、设函数的定义域为，（），求的定义域。、已知，求及其定义域。、设，求、设是（，）上是奇函数，已知时，试求：在（，）上？四、应用题、某商品的单价为元，单位成本为元，商家为了促销，规定凡是购买超过单位时，对超过部分按单价的九五折出售，求成本函数、收益函
3、数、利润函数。、某电视机每台售价为元时，每月可销售台，每台售价为元时，每月可增销台，试求该电视机的线必性需求函数。、某厂生产某商品的可变成本为元件，每天的固定成本为元，如果每件商品的出厂价为元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件该商品？五、设，其中为常数，且，试证：。应用实例生小兔问题兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子？解 先直接推算，在第1月只有1对兔子；第2月也只有一对兔子；在第3月这对兔子生了1对小兔子，共有2对兔子；在第4月，老兔子又生了1对小兔子，共有3对小兔子；在第5个月，老兔子生1对小
4、兔子，且在第3月出生的小兔也生育1对小兔子，故共有5对小兔子，在第6个月，老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1对小兔子，故共有8对小兔子。如此类推，不难得到月份和小兔子对数的关系如表1所示。表1 兔子对数增长月份数/12 34567小兔数/对11235813月份数/8910111213小兔数/对21345589144233.从表1看出，一年后（第13月）时共有233对兔子。但是计算2年后时，这种方法似乎有些繁和苯，且容易出错。有没有更好的方法呢？现在回过头来仔细观察一下每月小兔数的变化情况，我们发现从第3月开始，每月小兔对数就是前两月的小兔对数之和。若记 为第月的小兔对数，则我们发现的规律
5、为 (1)用（1）式就很容易用计算机算出2年后兔子的对数为75025。交通路口的红绿灯模型问题：在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮15秒种，问最多可以有多少汽车通过这个交叉路口.分析：这个问题提得笼统含混，因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车辆左、右转弯的规则，不同的国家都不一样。通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们的行驶的速度和方向. 这里我们在一定的假设之下把这个问题简化.假设：（1）十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞.（2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆.（3）所有的车辆长度相同，为米，并且都是从静止状态匀
6、加速启动.（4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，为米.（5）前一辆车起动后，下一辆车起动的延迟时间相等，为秒.对于我们的问题，可以认为在红灯下等待的车队足够长，以致排在队尾的司机看见绿灯又转为红灯时仍不能通过路口.我们用轴表示车辆行驶的道路.原点表示交通灯的位置，轴的正向是汽车行驶的方向.以绿灯开始亮为起始时刻.于是在红灯前等待的第1辆汽车刚起动时应该按照匀加速的规律运动.我们可以用公式 来描述它，其中为时刻汽车在轴上的位置，是汽车起动时的加速度.对于灯前的第辆车，则有公式，其中是起动前汽车的位置，是该车起动的时刻。由假设（3）（5）可知，.在城市道路上行驶的汽车都有一个最高时速的限制
7、，为 米/秒.并假设绿灯亮后汽车将起动一直加速到可能的最高速度，并以这个速度向前行驶，则显然汽车加速的时间是.由上面的分析可以得到绿灯亮后汽车行驶的规律是对于模型的参数值，我们取=5米 ，=2米 ，=1秒.在城市的十字路口汽车的最高速度一般是40千米/时，它折合米/秒 .进一步需要估计加速度，经调查大部分司机声称：10秒钟内车子可以由静止加速到大约26米/秒的速度。这时可以算出加速度应为2.6米/秒2，保守一些取汽车的加速度为=米/秒2. 秒.根据这些参数，我们可以计算出绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如表所示绿灯亮至15秒汽车的位置车号1 234567810最终位置/米135.711
8、7.699.581.463.345.227.19-9.1从上表可见，当绿灯亮至15秒时，第八辆汽车已经驶过红绿灯9米。而第九辆车还距交通灯9.1米不能通过.经济市场中商品交换模型 1. 市场个体贸易者将他们的商品带到市场，又根据不同的需求将商品换回家。一个简单的交换经济就这样形成.假定有个贸易者群，用表示.有种商品，作为下标.每个贸易者带进市场的商品用来表示，这里 是贸易者拥有商品的初始数量.我们假定每个贸易者具有实值效用函数，以表示他的偏好.值是对所有能实现的商品分配定义的，当且仅当 时，贸易者较向量更喜欢向量.还可假定函数具有某些性质，如连续性和凸性，即对任意的，成立.考虑一个贸易者联盟.
9、 中的局中人可以在他们之间将商品重新分配，满足守恒律 这里描述了的商品分布。假定群体效用是它的成员效用的和。则联盟的目标是选择，使群体的总效用最大，即决定，使 任何公平的分配都必须考虑以这种方式决定的联盟值.2 咖啡早茶假定三个工人带着四种商品（咖啡、茶、糖和奶油）去喝早茶.局中人1带两个单位的咖啡，但他喜欢喝奶油的茶.局中人2有一个单位的茶但他喜欢喝加糖的咖啡，局中人3有两个单位的糖和三个单位的奶油，想喝加糖和奶油的咖啡.他们的自带商品可表示成假设局中人的效用函数是这里给出了工人所饮饮料的杯数，饮料由配料配制，配料可用表示.对的不同子集，可计算联盟的值.例如，如果局中人1病了，不能来工作，这
10、对联盟最有好处。导出的特征函数是, , 分配集是 核心是 U2U1U1+U3=2AC哪个联盟也没有能力拒绝接受使效用结果位于核心中的分配.这些集合表示在下图中.方桌为什么总可以放平稳问题 将一只四条腿一样长的方桌放在不平的地面上，问是否总能设法使它的四条腿同时着地？在下列假设条件下，答案是肯定的：（1）地面为连续曲面.（2）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的脚是足够长的.（3）只要有一点接触地面，就应视为已经着地，即将与地面的接触看成几何上的点接触.现在，我们来证明这一结论. 先作如下设想：设方桌的俯视图如下图，四条腿分别在 处，方桌的中心为. yBCAxOD取对角线初始所在的直线为轴，所在的直
11、线为轴. 当方桌绕中心转动时，对角线与初始位置的夹角记为.记两腿到地面的距离之和为，两腿到地面距离之和为，当地面是连续曲面时，均为的连续函数. 又根据（2），腿是足够长的，故三条腿总能同时着地，所以必成立. 现不妨设（即初始时刻两腿着地），而（否则已四腿着地）.于是，方桌问题归化为以下的数学问题：已知和是的连续函数，且对任意有，求证存在某一，使得.证明 当时，与互换了位置，故.取 ，显然. 因为连续，由上确界定义必有，且对任意，又有. 这样，由 又可推得 ，再根据的连续性及的任意性即可得出， 证毕.答案一、填空、 ，4、二、选择、三、计算、解：的定义域为，即：（）、（）、解：令，的定义域为、解
12、：令，此时：；，此时：、解：设，由于是奇函数，对任意有当时，而，即：，在（，）上，四、应用题、解：设购买量为单位，则成本函数，收益函数利润函数、解：设电视机的市场需求量为台，单位价格为元，线性函数为：，代入，当元时，得（）当时，得（）由（）（）得，过且过所求需求函数为：、解：设每天生产该商品件，则每天成本为（元），每天收入，为了每天不亏本，则，即：得（件），即：若要不亏本，则每天至少应生产该商品件。五、把换成，代入（）得（），由（）（）得工厂搬迁对于一个企业来说，安全问题始终是第一位的，也是最基本的，过程中所涉及到的安全问题主要是人员的安全和设备拆装以及财产的安全。各部门经理和所有员工一定要以安全为核心，开展各项工作，职责到人、分工明确。
