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1、*6 正态分布,第二章 概 率,学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 正态分布,1.正态分布 正态分布的分布密度函数为：f(x) ， x(，)，其中expg(x)eg(x)，表示 ，2(0)表示 .通常用XN(，2)表示X服从参数为和2的正态分布.,均值,方差,2.正态分布密度函数满足以下性质 (1)函数图像关于直线 对称. (2)(0)的大小决定函数图像的 . (3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值 P
2、(X) . P(2X2) . P(3X3) . 通常服从于正态分布N(，2)的随机变量X在区间(3，3)外取值的概率只有 .,x,“胖”“瘦”,68.3%,95.4%,99.7%,0.3%,题型探究,例1 如图所示是一个正态分布，试根据该图像写出正态分布的分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差.,类型一 正态曲线的图像的应用,解答,解 从给出的分布密度曲线可知它关于直线x20对称，最大值是 ，,于是该正态分布的分布密度函数的解析式是,利用图像求正态分布的分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：一是对称轴为x，二是最大值为 .这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入f(x)中
3、便可求出相应的解析式.,反思与感悟,跟踪训练1 设两个正态分布N(1， )(10)和N(2， )(20)的分布密度函数图像如图所示，则有 A.12 C.12，12，12,解析,解析 分布密度曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最大值的连续曲线.当一定时，越大，曲线的最高点越低且较平缓； 反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭.故选A.,答案,例2 设XN(1,22)，试求： (1)P(1X3)；,类型二 利用正态分布的对称性求概率,解答,解 因为XN(1,22)， 所以1，2. P(1X3)P(12X12) P(X)0.683.,解 因为P(3X5)P(3X1)， 所以P(3X5) P(3X5
4、)P(1X3) P(14X14)P(12X12) P(2X2)P(X) (0.9540.683)0.136.,(2)P(3X5)；,解答,(3)P(X5).,解 P(X5)P(X3) 1P(3X5) 1P(14X14)0.023.,解答,引申探究 本例条件不变，若P(Xc1)P(Xc1)，求c的值.,解 因为X服从正态分布N(1,22)， 所以对应的分布密度曲线关于x1对称. 又P(Xc1)P(Xc1)， 因此 1，即c1.,解答,利用正态分布求概率的两个方法 (1)由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故在关于直线x对称的区间上概率相等.如： P(Xa). P(Xa). (2)利用
5、X落在区间(，)，(2，2)，(3，3)内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解.,反思与感悟,跟踪训练2 (1)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2,解析,解析 随机变量X服从正态分布N(2，2)， 2，对称轴是x2. P(4)P(0)0.2， P(04)0.6， P(02)0.3.故选C.,答案,(2)设XN(6,1)，求P(4X5).,解 由已知得6，1. P(5X7)P(X)0.683， P(4X8)P(2X2)0.954. 如图，由正态分布的对称性知，,解答,P(4x5)P(7x8)，,类
6、型三 正态分布的应用,例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数XN(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.,解答,解 由题可知110，20， P(X90)P(X11020)P(X)， P(X)2P(X90)1P(X130)P(X11020)P(X)， P(X)0.6832P(X)1， P(X)0.159，即P(X130)0.159. 540.1598(人)，即130分以上的人数约为8.,解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，)，(2，2)，(3，3)三个区间内的概率
7、，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.,反思与感悟,跟踪训练3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在1822 mm间的零件所占的百分比；,解 XN(20,4)， 20，2，18，22， 尺寸在1822 mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.,解答,(2)若规定尺寸在2426 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？,解 314，326，216，224， 尺寸在1426 mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在1624 mm间的零件所占的百分比大约是95.4%. 尺寸在242
8、6 mm间的零件所占的百分比大约是 2.15%. 因此尺寸在2426mm间的零件大约有5 0002.15%107(个).,解答,当堂训练,2,3,4,5,1,1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是 A.甲科总体的方差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的方差及平均数都居中 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同,答案,解析,解析 由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且2是方差，故选A.,2.设随机变量服从正态分布N(，2)，且二次方程x24x0无实数根的概
9、率为 ，则等于 A.1 B.2 C.4 D.不能确定,2,3,4,5,1,答案,解析,由1644，,3.已知服从正态分布N(，2)的随机变量在区间(，)，(2，2)和(3，3)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有 A.997人 B.972人 C.954人 D.683人,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 依题意可知90，15， 故P(60X120)P(90215X90215) 0.954,1 0000.954954， 故大约有学生954人.,2,3,4,5,1,4.设XN ，则X落在(3.5，0.5)内的概率是 A.95.4% B.99.7% C.4.6% D.0.3%,解析,答案,5.设随机变量XN(0,1)，求P(X0)，P(2X2).,2,3,4,5,1,解答,解 对称轴为X0， 故P(X0)0.5， P(2X2)P(021X021)0.954.,规律与方法,1.理解正态分布的概念和分布密度曲线的性质. 2.正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(a)，,本课结束,
