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1、第四章 矩阵与行列式,4.4 逆矩阵 4.5 矩阵的初等变换,4.4 逆矩阵,设给定线性方程组,根据矩阵的乘法，以上线性方程组可表示成矩阵形式,其中,分析代数方程 的求解过程，对于求解矩阵方程会有新的启发,逆矩阵的概念与性质,定义4.7 对于 阶矩阵 ，如果有矩阵 ,使得,则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵,的逆矩阵是唯一 .,证：设B、C都是A的逆矩阵，则有,所以A的逆矩阵是唯一的.,的逆矩阵记作 ， 即若 ，则 ,可逆矩阵及其逆矩阵的性质,性质4.7 可逆矩阵 的逆矩阵 也是可逆矩阵，并且,性质4.8 非零数 与可逆矩阵 的乘积矩阵 也是可逆矩阵，并且,性质4.9 两个同阶可逆矩
2、阵的乘积矩阵是可逆矩阵，并且,性质4.10 可逆矩阵的转置矩阵是可逆矩阵，并且,方阵可逆的条件,设n阶方阵,由方阵 中元素 的代数余子式,伴随矩阵,按转置方式排成的 阶方阵，称为方阵 的伴随矩阵，记作,定理4.3 阶方阵 可逆的充分必要条件是 并且当 可逆时， 的逆矩阵可表示为,其中， 是 的伴随矩阵,上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法,练习4.12 求矩阵 使满足,其中,解：若 存在，则用 左乘上式， 右乘上式，有,即,可解得 ， ，故知 都可逆且,得,所以,同样可得出,于是,4.5 矩阵的初等变换,消元法解线性方程组,解：,只需用“回
3、代”的方法便能求出解：,或者,（其中c为任意常数）,线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换,(1) 互换两个方程的位置；,(3) 用一个数乘一方程加到另一方程；,(2) 用一个非零的数乘一个方程,线性方程组的同解变换,(1) 对调i,j两行,(2) 以数 乘i行,(3) 把j行的k倍加到i行,矩阵的 初等行变换,矩阵的 初等列变换,矩阵的 初等变换,用行初等变换求逆矩阵,将n阶可逆矩阵A与n阶单位矩阵E并列， 构成一个n*2n矩阵A E,在事先不知道方阵 是否可逆的情况下，应用上述方法可以同时判断 的可逆性,如果经过若干次行初等变换后，发现在左边的方阵中有一行元素全为零，则意味着 不可逆，此时 不存在,初等行变换,练习4.13 用行初等变换的方法判断下列方阵是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵,解：,于是求得 的逆矩阵为,至此，左边的方阵中最后一行元素全部为零，所以 不可逆，即 不存在,习 题,习题1 求A,B的逆矩阵,解：,习题2 在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出, 试确定农作物的价值x1, 农具及工具的价值x2, 织物的价值x3的比值.,解: 根据上表可得关于 的三个齐次方程如下:,对系数矩阵做行初等变换:,可见方程有非零解, x3为自由变量, 令x3=t为任意正实数, 则有x1=x2=x3=t, 即三种价值的比值为1:1:1.,
