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1、第五章 一元微积分的应用5.1 函数图象的几何性质一 基本概念 定义1 极值点与极值：（1）极大值点（极小值点）：函数在的某邻域内有定义，若有（），则称为的极大值点（极小值点）；函数值为的极大值（极小值）（2）极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值定义2 凸凹函数： 函数在上有定义，若对任意的，有 （1）则称在区间上是凹函数（凸函数）公式（1）可以改写为： （2）其中，且定义3 拐点： 如果函数在点的左右邻域的凸凹性不同，则称点是函数的拐点；定义4 渐近线： 若曲线上的点，沿曲线无限远离原点时，它与定直线的距离趋于零，则称直线就是曲线的渐近线。注1 极值点和最值点的区别和联系
2、：（1）极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点；（2）最值点若是在区间内部，最值点就是极值点；（3）若函数在定义域区间内仅有唯一极值点，则此极值点就是最值点 注2 拐点是曲线上的点，并非是数轴上的点二 基本方法1 求极值点有两类点可能成为极值点：导数等于0的点和导数不存在的点（仅仅可能是极值点） 判断上述两类点是否为极值点的具体方法：（1）几何方法：若的左右邻域的单调性不同，则是极值点，是极值；在的左邻域上，；在的右邻域上，为极大值点在的左邻域上，；在的右邻域上，为极小值点（2）代数方法：求的导数，若，而，则 (a) 如果是偶数，是极值点，若,是极小值点，若,是极大值点； (b) 如果是奇数
3、，不是极值点2 求函数的单调区间（1）求函数的定义域；（2）在定义域内求出一阶导函数等于零的点和一阶导函数不存在的点；（3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断导函数在每个区间的符号，从而得到单调区间3 求函数在区间或上的最值：具体方法：求函数在闭区间上一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令，则函数在的最大值与最小值分别为； 。特别的，求函数在开区间上的最值：具体方法：求函数在上的一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令，（1）若或则在上存在最大值，最大值就是（2）若或则在上存在最小值，最小值就是否则，不存在最值4 求凹凸区间和拐点具体方法：（1）求函数的定义域；（2）求二阶导数
4、等于零的点和二阶导数不存在的点；（3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断二阶导函数在每个区间的符号，从而得到凹凸区间和拐点5 求曲线的渐近线（1）水平渐近线：，或，则是水平渐近线（2）铅直渐近线：，或，则是铅（垂）直渐近线（3）斜渐近线：若，则是斜渐近线6 函数在区间上的平均值函数在闭区间上的平均值：例1 已知在处有极值，求，并求所有极大值、极小值和拐点。解 根据已知有，解得，。从而函数解析式为。求导，令，解得稳定点为，于是，。所以分别是极小值点和极大值点，极小值为，极大值为。由于，令，则，由于，所以是拐点。例2 求曲线的一条切线，使得曲线、切线与，所围成的图形面积最小。解 设曲线上的点
5、的切线方程是。则由，和所围成的图形的面积为 。对求导，得到，令，解得。而所以在处取极小值，即最小值。于是所求切线方程为，即。例3 函数对一切实数满足微分方程(1) 若函数在点有极值，证明它是极小值；(2) 若函数在点有极值，它是极大值还是极小值？解 （1）因为在点有极值，所以，将代入方程中，得到因此，所以是的极小值（2） 因为具有二阶导函数，在有极值，所以，是函数的极小值例4 函数，求（1）的极大值用表示出来；（2） 将（1）中的看作函数，求的最值解（1）因为，令，得到稳定点，而，于是是极大值点，极大值（2）由于，令，解得在区间稳定点是，所以；例5 设对任意实数有，且，求的极值解 首先求函数的
6、解析式依题意有，解方程组，得到所以，由于，所以，于是令，解得，而，所以，所以是极小值，为极大值练习 5.11在数列中，求出最大一个数 （最大数：，提示：问题归结到函数的最大值）2求函数的最大值和最小值 （最大值：，最小值 ）3求函数，的最大值和最小值 （最小值：，无最大值 ）3求曲线在内一条切线，使得该切线与直线，和曲线 所围成的图形面积的最小值3 答案：5 求方程所确定的函数的极值。（当时，是极小值）6. 求通过点（1，1）的直线中，使得为最小的直线方程 答案：7.设函数在区间内有极小值，且极小值是0，求函数在的区间内有极大值答案：8. 设过原点。当时，。该曲线与轴以及所围成的图形的面积为，
7、试确定，使此图形绕轴旋转一周的立体的体积最小。答案：。8.求函数和的渐近线答案：和9 设函数是由方程确定，试求曲线的渐近线。答案： 10.设函数，求曲线的渐近线答案：水平渐近线：；垂直渐近线：，；斜渐近线： 5.2 微元法在计算面积、体积、弧长应用 1计算面积公式 （1）直角坐标系下，由，和围成区域的面积为 特别的，由，轴，和围成图形的面积是 （2）极坐标系下，由，围成区域的面积为特别的，当，围成图形的面积是 （3）边界曲线为参数方程的图形面积，其中在上不变号，若积分值为负值，交换积分上下限2计算弧长公式（1）平面曲线用参数方程表示：，具有连续导数，则曲线弧长；（2）平面曲线用一般方程表示：，
8、具有连续导数，则曲线弧长；（3）平面曲线用极坐标方程表示：，具有连续导数，则曲线弧长；3计算曲率、曲率半径公式（数三不要求）曲率是对曲线的弯曲成度的描述：曲率若曲线用参数方程表示：，则曲率为曲率半径： 4计算体积公式（1）设立体介于平面和之间，对，过且垂直于轴的平面截立体，其截面面积为，则的立体体积为；（2）旋转体的体积：连续曲线、轴、和围成曲边梯形，该平面图形绕轴旋转的旋转体的体积：；平面图形绕轴旋转的旋转体的体积： 。5 旋转面的面积在轴上方有一平面曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面的面积。（1）平面曲线用参数方程表示：，则旋转曲面面积（2）平面曲线用一般方程表示：，则旋转曲面面积。（3）平面
9、曲线用极坐标方程表示：，则旋转曲面面积。例1 求围成图形的面积解 曲线关于轴和轴都对称，所以整个图形的面积是第一象限的4倍，于是。例2求摆线的一拱与轴所围成的面积解 根据公式例3 求半径圆绕距离中心为的直线旋转而成的圆环体的体积。解 适当建立坐标系，圆的方程为，则圆环体可以看作是曲线和分别绕轴旋转体体积的差。所以 。例4 设一容器是曲线绕轴旋转而成。现以速度向容器注水，求水面上升到时，水面上升的速度和液面面积的扩大速度。解 设时刻时液面高度为，则。对求导：，于是当时，。即液面上升到时，水面上升的速度。由于液面面积，所以。习题5.21、 求下列曲线所围成的图形的面积：（1）； （2）和两坐标轴；
10、（3）与轴； （4）和；（5）； （6）答案：（1）；（2）；(3) ，提示：曲线与轴有三个交点；（4），两个曲线有三个交点； (5) （6） 提示：将曲线转化为极坐标方程：2、求由下列曲线绕轴旋转的旋转体的体积：（1）及所围成的图形绕直线旋转一周；（2）绕轴旋转一周；（3），分别绕轴和绕轴旋转一周；，。3、已知曲线，试求：（1）与轴所围成的图形的面积；（2）图形绕轴旋转一周的旋转体的体积；（3）图形绕轴旋转一周的旋转体的体积。2（1）；(2)；(3).4求曲线和所围成的公共图形的面积4 答案：5. 求心脏线所围成图形的面积和弧长，6. 求曲线，的全长7. 设容器由绕轴旋转而成。令注入方水后，
11、水面的高度是，再注入方水后，问水面高度提高了多少？（答案：）5.3 微元法在物理上的应用解决实际问题的基本方法：微元法，即细分、累加、求极限，根据极限形式，确定所求量的定积分。但在实际问题中，我们只需确定被积表达式即可，没有必要严格按照细分、累加、求极限，再确定定积分，于是在微元的处理上，往往采用：建立适当的坐标系或坐标轴，在整体量任意选定一个位置，给出改变量，在从到一段上，把所求量（如压力、作功、引力、质量）看作常量：于是得到微元的量，即确定了定积分的被积表达式，从而得到所求量的定积分。（1）液体压力 设一平面薄板放在均匀的静止的密度为的液体中，则液体对薄板的侧压力微元法：在薄板中任意选取一
12、个位置（也是水深），薄板的宽度为，薄板的长度为，于是微元面积为，微元所受压力（密度深度受力面积），即是被积表达式。（2）物体引力 质量分别为相距为的两质点的引力大小为，其中为引力常数，引力的方向沿两点的连线方向 （3）变力作功 设一物体，在外力的作用下，沿轴从点移动到点，则外力所作的功 微元法：在上任意选取一个位置，移动距离为，在力作用下，物体从到所作的功为（力位移），即是被积表达式。 （4）物体质量 设一物体，其密度函数是连续函数，则物体质量为 微元法：适当建立坐标系，在物体上任意选取一个位置，作一个截面，在这个截面上密度相等，给出切片的厚度为，于是微元体积为，微元质量（密度切面面积厚度），
13、即是被积表达式。例1 设半径为的球体体密度，求球体的质量 （1） 是球内的任意一点到球心的距离； （2） 是球内的任意一点到直径的距离；（3） 是球内的任意一点到过球心的平面的距离图5-6 图5-7 图5-8解（1）由于是球内的任意一点到球心的距离，所以为计算质量的方便，将密度相等部分分割到一起，分割方法是：以原点为圆心，以和为半径作两个球面组成球壳，所以体积微元（球壳）近似为：（体积表面积厚度）于是质量微元 所以质量为（2）由于是球内的任意一点到直径的距离，建立坐标系，同样为计算质量的方便，将密度相等部分分割到一起，分割方法是：以直径为轴，以和为半径作两个柱面组成具有厚度为的柱面，于是体积微元近似为（体积柱面表面积厚度）于是质量微元所以质量为（3）由于是球内的任意一点到过球心的平面的距离，建立坐标系，同样为计算质量的方便，将密度相等部分分割到一起，分割方法是：距平面的距离为和，作两平行于定平面的平面，平面薄板是圆面，厚度为，于是体积微元近似为（体积圆面面积厚度）于是质量微元所以质量为例2 由抛物线及
