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1、遥行教育预初试讲讲义宋老师第三讲 数论专题重点知识点：一、整除性质如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数)如果自然数a、b均为M的倍数，则ab，ab均为M的倍数。如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。如果a为M的倍数，且a为N的倍数， 则a为M，N的倍数。二、整除特征1末位系列(2，5)末位(4，25)末两位(8，125)末三位2数段和系列3、9 各位数字之和 任意分段原则(无敌乱切法)33，99 两位截断法 偶数位任意分段原则3数段差系列11 整除判断：奇和与偶和之差余数判断：奇和偶和(不够减补十一，直到够减为止)7、11、13三位截断法：从右往左，三位一隔：整除判
2、断：奇段和与偶段和之差余数判断：奇段和偶段和(不够减则补，直到够减)三、整除技巧：1除数分拆：(互质分拆，要有特征)2除数合并：(结合试除，或有特征)3试除技巧：(末尾未知，除数较大)4同余划删：(从前往后，剩的纯粹)5断位技巧：(两不得罪，最小公倍)四、约数三定律约数个数定律：(指数1)再连乘约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘约数积定律：自身n(n约数个数2)例题：【例1】2025的百位数字为0，去掉0后是225，22592025。这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_。【巩固】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少
3、180人，那么该校人数最多可以达到_人。【例2】若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？【巩固】两个两位数，它们的最大公约数是9，最小公倍数是360，这两个两位数分别是_。【例3】一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为_。【例4】对四位数a b c d，若存在质数p和正整数k，使abcdpk，且abcdpp5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。【例5】已知，23!= 2585a01b738cde000 其中a，b，c，d，e表示五个互不相同的偶数数字，且cb 求a，b，c，d，
4、e分别是多少?余数问题一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余
5、数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之
6、积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)三、弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数
7、各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。例：检验算式四、中国剩余定理：一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。先由，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：，其中k是从1开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对
8、数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。例题:【例1】一列数，前几个数是1，3，8，21，55，144，377，987，通过观察中间数的3倍都是它前后相邻2个数之和，求：这列数中的第2011个数除以6所得的余数是几？【巩固】有一串数：5，8，13，21，34，55，89，其中第一个数是5，第二个数是8，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。那么在这串数中，第2011个数被3除后所得余数是几？【例
9、2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_。【例3】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a5、2a、a，求这个自然数和a的值。【巩固】学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是123，问学前班有多少位小朋友？【例4】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数。【拓展】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为_。【例5】已知 a =2008 ，问：a除以1
10、3所得的余数是_。2008个2008课后练习1、(全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_2、已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？3、(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的2倍，则丙手中卡片上的数是_4、求的余数 5、已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是，求该自然数的值6、有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多1
11、0人三校共有高中生2196人有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是_人6、三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数7、有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数8、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：008，试求这个多位数除以9的余数9、在7进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？10、在几进制中有？11、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？矮化砧嫁接的苹果树树冠体积小于乔化砧嫁接的苹果树树冠体积，矮化砧苹果树单株产量低于乔化砧苹果树，所以，栽植矮化苹果树必须根据不同的矮化砧木和不同类型的短枝型品种适当加大栽培密度7
