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1、第一编 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念及其基本运算基础自测1.（2008山东，1）满足M,且M的集合M的个数是 . 答案 2 2.设集合A=，则满足AB=的集合B的个数是 . 答案 43.设全集U=1，3，5，7，集合M=1，|a-5|,MU, UM=5,7,则a的值为 。 答案 2或84.(2008四川理，1)设集合U=AB则U（AB）等于 . 答案 5.（2009南通高三模拟）集合A=，B=，R（AB）= . 答案 （-,0）(0, +)例1 若a,bR,集合求b-a的值.解 由可知a0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：或由得符合题意；无解.所以b-a=2.例2 已知集合A=，集合
2、B=(1)若AB，求实数a的取值范围；(2)若BA，求实数a的取值范围；（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.解 A中不等式的解集应分三种情况讨论：若a=0，则A=R;若a0，则A=若a0，则A=(1) 当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a0时，若AB，如图，则a-8.当a0时，若AB，如图，则a2.综上知，此时a的取值范围是a-8或a2.(2)当a=0时，显然BA；当a0时,若BA，如图，则-当a0时，若BA，如图，则0a2.综上知，当BA时，-0（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.例3 （14分）设集合AB（1）若AB求实数
3、a的值；（2）若AB=A求实数a的取值范围；（3）若U=R，A（UB）=A.求实数a的取值范围.解 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A= 2分 （1）AB2B，代入B中的方程,得a2+4a+3=0,a=-1或a=-3;当a=-1时，B=满足条件；当a=-3时，B=满足条件；综上，a的值为-1或-3. 4分（2）对于集合B，=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).AB=ABA,当0,即a-3时，B=，满足条件；当=0，即a=-3时，B=，满足条件；当0，即a-3时，B=A=才能满足条件， 6分则由根与系数的关系得即矛盾；综上，a的取值范围是a-3. 9分（3）A（UB）=A，
4、AUB，AB=； 10分若B=，则0适合；若B，则a=-3时，B=，AB=，不合题意；a-3，此时需1B且2B.将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B的方程得a2+2a-2=0a-1且a-3且a-1 13分综上，a的取值范围是a-3或-3a-1-或-1-a-1或-1a-1+或a-1+ 14分1.设含有三个实数的集合可表示为也可表示为其中a,d,qR,求常数q.解 依元素的互异性可知，a0,d0，q0,q.由两集合相等，有（1）或（2）由（1）得a+2a（q-1）=aq2,a0, q2-2q+1=0,q=1(舍去).由（2）得a+2a(q2-1)=aq,a0,2q2-q-1=0
5、,q=1或q=-q1, q=-综上所述,q=-2.（1）若集合P=S且SP,求a的可取值组成的集合；（2）若集合A=B且B，求由m的可取值组成的集合.解 （1）P=当a=0时，S=，满足SP；当a0时，方程ax+1=0的解为x=-为满足SP,可使或即a=或a=-故所求集合为（2）当m+12m-1，即m2时，B=，满足BA；若B，且满足BA，如图所示，则即2m3.综上所述，m的取值范围为m2或2m3,即所求集合为3.已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB=？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解 方法一 假设存在实数a满足条件AB=，则有 （1）当A时，由ABB=，知集合A中的元素
6、为非正数， 设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得 （2）当A=时，则有=(2+a)2-40，解得-4a0. 综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+）.方法二 假设存在实数a满足条件AB，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1,x2至少有一个为正，因为x1x2=10，所以两根x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得解得又集合的补集为存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+）.一、填空题1.(2008江西理，2)定义集合运算：A*B=设A=B则集合A*B 的所有元素之和为 .答案 62.已知全集U=0，1，
7、3，5，7，9，AUB=1，B=3，5，7，那么（UA）(UB)= .答案 0，93.设全集U=R,集合M=x|x1或x3,集合P=，且UM，则实数k的取值 范围是 . 答案 0k34.集合A=yR|y=lgx，x1，B=-2，-1，1，2，则(RA)B= .答案 -2，-15.已知集合P=（x，y）|x|+|y|=1，Q=（x，y）|x2+y21，则P与Q的关系为 . 答案 PQ 6.（2009徐州模拟）设A，B是非空集合，定义AB=，已知A=， B=，则AB= . 答案 7.集合A=x|x-3|a，a0，B=x|x2-3x+20，且BA，则实数a的取值范围是 .答案 2，+） 8.(200
8、8福建理，16) 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有a+b、a-b、ab、P（除数b0）,则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F=a+b|a,bQ也是数域.有下列命题:整数集是数域;若有理数集QM,则数集M必为数域;数域必为无限集;存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)答案 二、解答题9.已知集合A=x|mx2-2x+3=0，mR.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.解 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.（1）A是空集，方程mx
9、2-2x+3=0无解.=4-12m0,即m.（2）A中只有一个元素，方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=;若m0，则=0，即4-12m=0,m=.m=0或m=.(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m.10.（1）已知A=a+2，（a+1）2，a2+3a+3且1A，求实数a的值；（2）已知M=2，a，b，N=2a，2，b2且M=N，求a，b的值.解（1）由题意知：a+2=1或（a+1）2=1或a2+3a+3=1，a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,a=0即为所求.（2）由
10、题意知,根据元素的互异性得即为所求.11.已知集合A=B= （1）当m=3时，求A（RB）；（2）若AB，求实数m的值.解 由得-1x5,A=.（1）当m=3时，B=，则RB=，A（RB）=.(2)A=有42-24-m=0,解得m=8.此时B=,符合题意，故实数m的值为8.12.设集合A=（x,y）|y=2x-1,xN*,B=(x,y)|y=ax2-ax+a,xN*，问是否存在非零整数a,使AB？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.解 假设AB，则方程组有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0. （*）由0，有（a+2）2-4a(a+1)0,解得-.因a为非零整数，a=1，
11、当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,而xN*.故a-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得AB,此时AB=（1，1），（2，3）.1.2命题及其关系、充分条件与必要条件基础自测1.(2009成化高级中学高三期中考试)若命题“对xR，x2+4cx+10”是真命题，则实数c的取值范围是 . 答案 2.（2008湖北理，2）若非空集合A、B、C满足AB=C，且B不是A的子集，则下列说法中正确的是 .(填序号) “xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 “xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 “xC”是“xA”的充要条件“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件答案3.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的 命题. 答案 否4.（2008浙江理，3）已知a,b都是实数,那么“a2b2”是“ab”的 条件. 答案 既不充分也不必要 5.设集合A、B，有下列四个命题：AB对任意xA都有xB;ABAB=;ABBA;AB存在xA,使得xB.其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）答案 例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相
