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1、第一讲 等腰与等边三角形【优秀学生必知的数学那点事】等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。2、等腰三角形是三角形家族中最为匀称、俏丽的成员，等腰三角形的基本性质有：等腰三角形的底角相等且必为锐角。即为“等边对等角”。等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的平分线重合。即有“三线合一”，且重心，外心，内心，垂心共线。等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分成两部分，以这条直线为轴，把其中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一起。等边三角形1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60.2、等边三角形每条边上的中线、高线和所
2、对的角平分互相重合。（三线合一）3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高）6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（等边三角形是特殊的等腰三角形）【精选精讲】例题1.如图所示，ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，且CE=BD，CD=BF,若A=40，求EDF。例题2、如图，ABC中，B=2C，BAC的平分线AD交BC于D，求证：AB+BD=AC例题3、如图，在ABC中，AB=3AC，A的平分线交BC于点
3、D，过B作BEAD，垂足为E，求证：AD=DE。【基础达标】1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A、30 B、30或150 C、120或150 D、30或120或1502、等腰三角形的周长为a cm,一腰的中线将周长分成5:3，则三角形的底边长为（ ） A、 B、 C、 D、3、如图3，ABC中，AB=AC，D、E、F分别在BC、AC、AB上，若BD=CE，CD=BF，则EDF等于（ ） A、90A B、90A C、180A D、1802A4、如图4，已知ABC中，B与C的平分线交点P恰好在BC边的高AD上，那么ABC一定是（ ） A、直角三角形
4、B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5、如图5所示，在ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BDC=75，则BAC= 。 图3 图4 图56、在ABC中，AB=AC，A-B=27，则C= 。7、等腰三角形的一个内角是50，则其他两个内角的度数为 。8、如右图，已知：ABC，BDE为等边三角形，求证AD=CE。9、已知：ABC，BDE为等边三角形，C,B,D三点共线，求证AD=EC。10、已知：ABC为等边三角形，AF=BD=CE,AD,BE,CF依次交于G,H,K。求证：GHK为等边三角形【能力提升】1、在ABC中，AB=AC,D为AC上一点，且AD=BD=BC，则A= 。2、在
5、ABC中，AB=AC，AB边上的高CD等于腰长的一半，求顶角。【课后练兵】1、如图，在ABC中，AB=AC, A=108,BD平分ABC交AC于点D,求证：BC=AC+CD2、如图，已知在等边三角形ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且AF=BD=CE。求证：三角形DEF是等边三角形。3、已知：ABC，BDE为等边三角形，A、D、E共线。求证：AE=BE+EC。第二讲 直角三角形【优秀学生必知的数学那点事儿】一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余；2、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；（斜边上的中线正好把直角三角形分成两个等腰三角形）3、直角三角形中，两条直角边的
6、平方和等于斜边的平方（称为勾股定理）a2+b2=c2（反之，一个三角形中，有一条边的平方等于其他两边的平方和，那么它是直角三角形）二、直角三角形的其他特殊性质1、直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：ab=ch或h=2、直角三角形中，如果一个锐角等于30或454530 a:b:c=1:2 a:b:c=1:1:【精选精讲】例题1、判断下列各组线段为边能否构成直角三角形（1）9 41 40 （2）5 5 5 （3） （4）32 42 52 （5） 例题2、如图，已知正方形ABCD，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，求证：AEEF例题3、
7、在ABC中，若a2+b2=25,a2-b2=7,又c=5，则最大边上的高是多少？例题4、ABC中，AB=,BC=,BC边上的中线AD=，则ABC是什么三角形？例题5、已知如图，四边形ABCD中，B，D是Rt，A=45若DC=2cm，AB=5cm，求AD和BC的长【基础达标】1、下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A、5 12 13 B、7 24 25 C、8 15 17 D、4 6 92、适合下列条件的ABC中，直角三角形的个数为（ ） （1）a= b= c= （2）a=b A=45 （3）A=32 B=58 （4）a=7 b=24 c=25 （5）a=25 b=2 c=3 A、2个
8、 B、3个 C、4个 D、5个3、下列语句 （1）若ABC中，a2+b2c2，则ABC不是直角三角形 （2）若ABC为直角三角形，C=90，则a2+b2=c2 （3）若ABC中，a2+b2=c2，则C=90 （4）勾股定理的逆定理：若两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形其中正确的个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个4、若线段a、b、c组成Rt，则它们的比为（ ） A、2:3:4 B、3:4:6 C、5:12:13 D、4:6:75、Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（ ） A、121 B、120 C、132 D、不能确定6、如果Rt两直角边的
9、比为5:12，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A、60:13 B、5:12 C、12:13 D、60:1697、三角形三边长分别为2K，K，K，则它的三个内角分别是 。8、直角三角形的面积为2，斜边上的中线为2，则直角三角形的周长是 。9、如图，在四边形ABCD中，AB=3cm，CD=12cm，BD=13cm，B=90，求四边形ABCD的面积。10、已知ABC三边上分别为a、b、c，a=n2-16，b=8n,c=n2+16(n4),求证：C=90.11、如图，已知四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90 求证：A+C=18012、在RtABC中，三边长为整数，且
10、AB=3，AC=5，则BC边上中线AD的长是多少。13、如图P、Q分别是RtABC的两直角边AB、AC上的点，M是斜边BC的中点，PMQM，若PB=a，QC=b，求PQ14、如图，四边形ABCD中，BAD=90，AB=BC=2，AC=6，AD=3，求CD。【能力提升】1、如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40航行，乙船向南偏东50航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少?2、如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，求PD的长。3、如图，在ABC中，AB=AC，P为BC上的任意一点，请用学过的知
11、识说明，AB2-AP2=PBPC4、如图，一个牧童在小河的南4Km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8Km北7Km处，他想把他的马牵到小河边饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，把纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠部分AEF的面积。【课后作业】1、在ABC中，A=30，B=45，AC=20，求BC及AB的长。2、如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？3、若ABC的三边长a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ABC的形状。4、如图，D、E、F分别是ABC的BC、AB、AC上的点，若AE=AF，BE=BD，CF=CD，ABBC=2BDDC，AB=3，AC=4，求ABC的面积矮化砧嫁接的苹果树树冠体积小于乔化砧嫁接的苹果树树冠体积，矮化砧苹果树单株产量低于乔化砧苹果树，所以，栽植矮化苹果树必须根据不同的矮化砧木和不同类型的短枝型品种适当加大栽培密度
