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1、相似多边形及位似-知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（2）相似多边形的周长比等于相似比（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:
2、 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转
3、或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的4. 作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段A
4、B的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x，则BP= (舍负)2.黄金三角形：顶角为36的等腰三角形，它的底角为72，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割【典型例题】类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.，而，矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必
5、须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】如图，梯形ABCD中，ADBC，E、F两点分别在AB、DC上若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为（）A.1:2 B. 2:3 C. 2:5 D.4:9【答案】D. 2. 如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm【答案】C.【解析】长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩
6、形相似，相似比是4：8=1：2，因而面积的比是1：4，因而留下矩形的面积是321/4=8cm2故选C 【总结升华】本题考查相似多边形的性质相似多边形面积之比等于相似比的平方类型二、位似3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形ABCDE，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5. 画法是： 1在平面上任取一点O. 2以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.3在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A、B、C、D、E，使OA:OA OB:OBOC:OCOD:ODOE:OE1.5. 4连结AB、BC、CD、DE、EA.这样：1.5. 则五边形
7、ABCDE为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.4. 如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）.画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA B C ，使它的面积等于矩形OABC面积的，并分别写出A、B、C三点的坐标.【答案与解析】因为矩形OABC与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB，（1）分别取线段OA、OB、OC的中点A、B、C，连接O A、AB、BC、 CO，矩形OABC就是所求的图形. A，B，C三
8、点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），C（0，2）. （2）分别在线段OA，OB，OC的反向延长线上截取O A、O B、O C，使OA=OA，OB=OB，O C=OC，连接 AB、BC，则矩形O ABC为所求.A、B、C三点的坐标分别为A（-3，0），B（-3，-2），C（0，-2）. 【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形5作法：（1）在AB上任取一点G，作GDBC；（2）以GD为边，在ABC内作一正方形DEFG；（3）连接BF，延长交AC于F；（4）作FGCB，交AB于
9、G，从F、G分别作BC的垂线FE，GD；四边形DEFG即为所求类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EFAD，交AD的延长线于F即矩形DCEF为黄金矩形证明：在正方形ABCD中，取， N为BC的中点， 在中，又 ， 故矩形DCEF为黄金矩形【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系会利
10、用相似比，求未知线段的长度或比值举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（）A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm【答案】D.该女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，此女士下半身长是1650.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是xcm，根据黄金分割的定义得： 0.618， 解得：x8 故选D相似多边形及位似-巩固练习【巩固练习】一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱
11、形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）A2个 B3个 C4个 D5个2.下列说法错误的是（ ）. A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形. C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（ ） A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DEBC，则ADE 是ABC放大后的图形. B.两位似图形的面积之比等于相似比. C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比. D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.
12、平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（ ） A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似. B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似. C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似. D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5. 下列命题：两个正方形是位似图形；两个等边三角形是位似图形；两个同心圆是位似图形；平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6如果点C为线段AB的黄金分割点，且ACBC，则下列各式不正确的是（）A. AB：AC
13、=AC：BC B. AC= C.AB= D.BC0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A. B. C. D.27102. 填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为_ _. 9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出_个，它们之间的关系是_.10如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA=20cm，则五边形ABCD
14、E的周长与五边形的周长的比值是_ 11. ABC中，D、E分别在AB、AC上，DEBC，ADE是ABC缩小后的图形.若DE把ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=_.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为_. 13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取ABC和DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取A1B1C1和D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_.1414. 如图，ABC中，AB=AC=4，BAC=36，ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（ADDC），则BC=_.三 综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点. (1)如果DEBC，那么ADE和 ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果ADE和 ABC是位似
