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1、第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数的不等式恒（能）成立问题。1、 线性规划（1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量
2、式子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。比如：已知等差数列，则的取值范围是 （2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：；（2）距离型：；（3）斜率型：；如果直接考这几个类型倒还好。比如：已知满足条件，则的最大值是 ，的最小值是 ，的取值范围是 。（3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。比如： 已知满足不等式组,则所在区域的面积是 已知满足条件，使得取得最大值的点有无数个，则实数的值是 已知满足条件，且在点（1,0）处取得最大值，则实数的范围是 （4）稍微难的是需要转化为这
3、几个类型的的时候要能够看得出。比如：已知满足条件，则的取值范围是 2、 解不等式解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式（注意分母不为零），指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都还不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”。另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等式对应的根式有关系的，比如：已知不等式的解是，则不等式的解是_解含参不等式是相对难一点的，不过过了高
4、一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情况，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清楚分类讨论的思路和步骤。而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论，因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。关于这个分类讨论，条理性要注意的：首先考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情况（是否有根，有几个根，大小怎么样，是否在定义域中），最后根据题目变量x的取值范围去得出不等式的解集。例1、解不等式 分析： 首先因式分解，二次函数的两根为，解应该是两根之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情况讨论，1，解不存在；2，即或，；3，即或，例2、解不等式： 分
5、析：因式分解，考虑到影响因素，到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以的取值是关键，联系到二次函数，两根为1，不等式变为，解为，2，解为，3，和的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论， 当时，即，或，当=时，即，当时，或例3、解不等式 分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+10及m+10来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论： 当m0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。 当1m0, 图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。 当m=3时，=4（3m）=0，图象开口向上，与x轴只有一
6、个公共点，不等式的解为方程的根。 当m3时，=4（3m）0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。3、 不等式恒成立、不等式有解常见方法1) 恒成立问题（1）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上（2）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上（3）特别的，若上述的取不到，则最后的参数范围需要加上“=”.（4）有一些可以转化为恒成立问题的，比如：“函数的图像横在的图像的上方恒成立”。2) 能成立问题（也就是有解问题）若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.3) 恰成立问题（相对少见）若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的
7、解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及，这里就不具体展开了。4、基本不等式一、知识点总结1、基本不等式原始形式:（1）若，则 （2）若，则2、基本不等式一般形式：若，则3、基本不等式的两个重要变形：（1）若，则 （2）若，则总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用：若，则特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”二、题型分析题型：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知，求函数的最小值；2、已
8、知，求函数的最大值；题型：巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘1、已知，求的最小值；法一：法二：变式：已知，求的最小值；变式：已知，求的最小值；变式：已知，求的最小值；变式：已知，求的最小值；变式：已知，求的最小值；变式：已知，求的最小值；变式：已知且恒成立，如果，求的最小值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）变式：已知，求的最小值； 变式：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；题型：分离换元法求最值（了解）1、求函数的值域；变式：求函数的最小值；2、求函数的最大值；（提示：换元法）变式：求函数的最大值；题型：基本不等式的综合应用1、已知，求的最小值2、已知，求的最小值；3、已知，求最小值；变式1：已知，满足，求范围；变式2：已知，求最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：已知，求最大值；4、设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 （提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设是正数，满足，求的最小值；变式：设是正数，满足，求的最小值；
