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1、第一章 集合和命题,1.1 集合的概念 1.2 子集 1.3 交集、并集、补集 1.4 命题的形式及等价关系 1.5 充分条件与必要条件 基本练习,1.1 集合的概念,1.集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起 例：1,2,3、A=a,b,c,d,e,f （2）元素：集合中的每个对象 例：a是集合A的一个元素 2.常用数集及记法 （1）自然数集：N （2）正整数集：N* （3）整数集：Z （4）有理数集：Q （5）实数集：R,高考考点,4.元素的性质 （1）确定性 例：四大洋、小河流 （2）互异性 例：已知A=a-a,2a,2,求a的取值范围。 （3）无序性 例：1,2,3=1,3,2
2、,3.元素与集合的关系 （1）a A （2）a A 例：设集合C中的元素是 所有形如a+b （ a Z, b Z ）的数，求证： （1）当x N时， xC （2）若xC， yC，则x+yC,并判1/x是否一定属于C?,5.集合的表示方法,（1）列举 法 （2描述法）,例： 1.a与a不同 2.（x,y)|y=x+1与y |y=x+1 格式：x A |P（x） 注意：有些集合的公共属性不明显，不便用描述法，只能用列举法;有些集合中元素不能一一列举，用描述法。,（3）图示法,1.韦恩图 2.数轴 例：（1）分母小于5的正的真分数的集合； （2）数轴上到3的距离不小于5的实数的集合。,6.集合的分类
3、,（1）有限集：含有有限个元素 （2）无限集：含有无限个元素 （3）空集：不含任何元素的集合，记作 注意:空集是一个集合 例：x R|x+1=0,1.2 子集,1.集合相等 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,记作A=B. 例：A=1,2,5，B=2,5,1,2.子集,包含：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含于集合A，记作 若任意x A有x B，则,当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，记作AB 注意： 有两种可能（
4、1）A是B的一部分 （2）A与B相等,3.真子集,对于两个集合A与B，如果 ，并且A B,我们就说集合A是集合B的真子集，记作 A B，读作A真包含于B. 注意：（1）空集是任何集合的子集； （2）空集是任何非空集合的子集； （3）若A不是空集，则空集不是A的真子集； （4）任何一个集合是它本身的子集。 5）,1.3 交集、并集、补集,1.交集：一般地，由所有属于A且属于B的元 素组成的集合，记作 例： 1,2,3,6 1,2,5,10=1,2 2.并集：一般地，由所有属于A且属于B的元素组成的集合，记作A B 例： 1,2,3,6 1,2,5,10=1,2,3,5,6,10,交集、并集的性质
5、,（1）若 ,则A B=A,A B=B; （2）若A=B,则A B=A,A B=A; （3）若A,B相交，有公共元素但不包含，则 A交B是A的真子集，也是B的真子集； A与B都是A并B的真子集 （4）若A,B无公共元素，则 A B= ,3.补集,全集：如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看做一个全集，通常用U表示,补集：一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集或余集，记作 A ( A)=A, U= ,4.归纳总结,1.德摩根律 2容斥原理：把有限集A的元素个数记作card(A),对于两个有限集合A,B，有car
6、d( )=card(A)+card(B)-card( ),5.例题,例1.已知集合A=x|-21或x1，B=x| 0，求 ， ，A,1.4 命题的形式及等价关系,1.四钟命题及其形式 原命题：若p则q 逆命题：若q则p 否命题：若非p，则非q 逆否命题：若非q,则非p 例.设原命题是“当c0时，若ab,则acbc”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,(1) (2) (3),2., 3. 四钟命题的真假关系(互为逆否关系的命题是等价命题) 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。,4.反证法 步骤：1.假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 2.从这个假设出发，通过推理论证，得出
7、矛盾 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 例.用反证法证明：如果ab0,那么 ,1.5充分条件与必要条件,1.推断符号“=” 若p则q，表示由P经过推理可以得出q，即若p成立，那么q一定成立 例.若x0,则x0可写成x0 = x0 说明： “p =q”也可写为“q=p”,2.充分条件与必要条件的概念及判断,概念：如果已知p =q，就说P是q的充分条件，q是p的必要条件 例.“x0”是“x0”的充分条件， “x0”是“x0”的必要条件,判断 1）若 p =q但q p就说p是q的充分不必要条件 2）若 p q但q =p就说p是q的必要不充分条件 3）若 p q且 q p就说p是q的既
8、不充分也不必要条件,第二章 不等式,2.1 不等式的基本性质 2.2 一元二次不等式的解法 2.3 其它不等式的解法 2.4 基本不等式及其应用 2.5 不等式的证明 基本练习,1.不等式的定义,2.1 不等式的基本性质 2分类 1)按成立条件分 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式 2）按开口方向分 同向不等式、异向不等式 3.实数比较大小的方法 1）作差比较法 例.比较1-a和 的大小（a 0） 2）作商比较法 3）分子有理化法,用不等号（, , ）连接两个实值函数解析式的式子；用“” 连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格不等式。,4.不等式的基本性质,1） 2）
9、3） 4） 5） 6）,5.利用不等式性质解题,例1. 设60x84,28y32,求x+y,x-y, 的取值范围,例2.已知-1a+b3,2a-b4,记u=2a+3b, 1）将u=2a+3b用a+b及a-b的代数式表示； 2）求u=2a+3b的取值范围,2.2一元二次不等式的解法,1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式； 一般形式： 2.两种解法 1）将 因式分解，转化成一元一次不 等式组求解 2）利用一元一次不等式与二次函数、一元二次方程之间的内在联系，研究不等式在 ， 和 时各种解的情况。,3.用区间表示不等式的解集,例题解不等式 1.-x+2x+1 0 2.0 x
10、-2x-30的解集 （2）若00的解集,设实数ab,则规定： 1）集合 叫做 开区间，表示为（a,b） 2)集合 x|a x b 叫做 闭区间，表示为a,b 3）集合x|ax b或x|a x b叫做半开半闭区间，表示为（a,b或a,b） 4）R=（ - ，+ ）,2.3其它不等式的解法,1.分式不等式 形如 或 （其中f(x),g(x)为整式且g(x) 0） 解法1）讨论f(x),g(x)的正负 2）转化为整式不等式f(x)g(x)0(或0)或|x|a(a0) 3.高次不等式 化高次为低次（换元、标根、转化为不等式组）,4.解不等式例题,例1.（1） （2） （3） 例2.（1）|x-5x|6
11、 （2）|x-|2x,例3.（1）|x+1|x-3| （2） |x+7|-|x-2|0,2.4基本不等式及其应用,1.基本不等式 1）如果a,bR，那么a+b2ab,当且仅当a=b时等号成立 变形： 1）如果a,bR，那么ab ,当且仅当 a=b时等号成立 2）如果a,bR，那么 3）如果a,b,cR，那么三项也适用以上公式,2）基本不等式,如果a,bR，那么 ，当且仅当a=b时等号成立 变形：如果a,b,cR，那么三项也适用以上公式 例7.已知a,b0,且a+b=1，求y=a 的最大值,例1.设a,b,c是不全相等的正数，且abc=1，求证： + + + + 例2. a,b,c,dR,求证(a+b)(c+d) ac+bd) 例3.设x0,求证 x+ 2 例4.求3x+ 的最小值,2.5 不等式的证明,1.比较法 步骤：作差（商）、变形、判断 2.综合法 以基本不等式作为基础 3.分析法(执果索因) “要证,只要证”,
