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1、5 点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用) 一点与抛物线的位置关系：已知点p（x0,y0）和焦点为F抛物线=2px（p0）（1） 点p（x0,y0）在抛物线=2px（p0）内 0） （2） 点p（x0,y0）在抛物线=2px（p0）上 =2p（p0） （3） 点p（x0,y0）在抛物线=2px（p0）外 2p（p0） 二直线和抛物线线之间的关系：已知抛物线C:=2px（p0）直线：Ax+By+C=0抛物线C和直线相离：（1） 抛物线C和直线相离抛物线C和直线无交点方程组无解，消去y得 关于x的方程设为 A2x2+2(AC-pB)x+C=0 （1）(或消去x得关于y的方程,Ay2+2pBy+C
2、=0)方程（1）（或方程（2）无解） 方程（1）中的 判别式0.若抛物线C和直线有两个交点A（x1,y1）,B（x2,y2）.C是AB的中点，则直线AB的斜率则|AB|=当直线 斜率是k时直线 倾斜角为时当直线过抛物线的焦点时 直线和双曲线有一个交点是直线和双曲线相切的必要不充分条件三解题技巧：（1）抛物线上的动点可设为P或 P，其中 （2）为方便消去未知数当直线在斜率存在且不为零或斜率不存的情况下方程可设成横截式x=ty+m和抛物线方程联立易消去x 四。过x2=2py外一点M(x0，y0)所作抛物线x2=2py(p0)的 两 条 切 线 的 性质过x2=2py外一点M(x0，y0)作抛物线x
3、2=2py(p0)的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 A(x1，y2)，B(x2，y2)则 直线AB的斜率过点M(x0，y0)作抛物线x2=-2py(p0)的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 A(x1，y2)，B(x2，y2)则 直线AB的斜率抛物线x2=2py(p0)x2=-2py(p0)过抛物线C外一点 M(x0，y0)是做C的切线PA、PB.A（x1,y1）、B（x2,y2）为切点 设直线AB的斜率为kAB典型题题型精讲精炼：题型一：直线与抛物线位置关系的判断1.已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C有： (1)当k 时，l与C有一个公共点； (2)当k
4、时，l与C有两个公共点； (3)当k 时，l与C有没有公共点 2.若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax恰好有一个公共点试求实数a的取值集合3.直线ykx2与抛物线y28x只有一个公共点，则k的值为()4求斜率为1与抛物线y2=4x相切的直线方程.5.求斜率为1与抛物线x2=4y相切的直线方程.6.直线x-y+4=0与抛物线y2=ax相切求抛物线的方程.7.过抛物线y28x的焦点斜率为k=2的直线的方程. 8.抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是_题型二：弦长问题 1.过焦点的弦长问题 （1）求过抛物线y28x的焦点斜率为k=1的直线被抛物线y28x截得的弦长。 （2）过抛物
5、线y2一4x的焦点斜率为k的直线被抛物线y2一4x截得的弦长为8，求k 的值 （3） 已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程 2.非过焦点弦问题 （1）.已知直线x-y-2=0与抛物线y2=4x相交于A、B求弦AB的长.（答案） （2）.已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x2y10截得的弦长为，求此抛物线方程（3）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线y24x截斜率为1的直线l所得的弦长|AB|3，求直线 l 的方程。 （4）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB|3，求 此抛物线的方程题型三：弦
6、中点问题1直线yx1被抛物线y24x截得弦的中点坐标是_2.已知过点P(4,1)抛物线y28x的弦的中点，则AB的斜率为（ ）直线的AB的为方程（ ）。3. 已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB的中点到y轴的距离为()4.已知抛物线y22px，过点P(4,1)引一条斜率为1弦AB使它恰好被点P平分，求抛物线的方程. 5.设过抛物线y22px的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若弦AB的中 垂线恰好过点Q(5,1)，求抛物线的方程 6.已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2
7、|.7.已知抛物线x26y，过点P(1,4)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.题型四：抛物线上的点到定点或定直线的距离问题1.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是_2给定抛物线y22x，设A(a,0)，a(4，)，P是抛物线上的一点，且|PA|d，求d的最小值3.给定抛物线y22x，设A(a,0)，a(-2，)，P是抛物线上的一点，且|PA|d，求d的最小值4.给定抛物线y22x，设A(a,0)，a(0，)，P是抛物线上的一点，且|PA|d，求d的最小值题型五：抛物线与导数 过焦点在y轴上的抛物线x2=2py(p0)（或x2=-2py(p
8、0)）外一点M(x0，y0)作 抛 物 线 x2=2py(p0)（或x2=-2py(p0)）两 条 切 线，的 问 题 。1已知过点P(2，一4)向抛物线y2x2做切线PA,PB.切点分别为A(x1,y1) 、B(x2,y2)，则 x1, +x2,=（ ）， x1x2,=（ ），直线AB 的斜率为（ ），AB的中点坐标为（ , ）直线AB的方程为（ ）。13郑2测.理16.过点M(2，-2p)作抛物线x2=2py(p0)的两条切线，切点分别为A，B,若线段AB的中 点纵坐标为6,则p的值是_.矮化砧嫁接的苹果树树冠体积小于乔化砧嫁接的苹果树树冠体积，矮化砧苹果树单株产量低于乔化砧苹果树，所以，栽植矮化苹果树必须根据不同的矮化砧木和不同类型的短枝型品种适当加大栽培密度5
