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1、27.2.1相似三角形的判定（第三课时）授课人 小湘中学 何汉荣 时间 2017.3.2教学目标知识与技能目标：掌握三角形相似的判定定理3，理解定理的证明方法，并能初步运用定理解决相关问题。过程与方法目标：通过三角形相似的判定定理3的学习，让学生领悟类比、转化等数学思想方法，培养学生创新思维、发散思维能力。情感与态度目标：通过自主探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考的好习惯，同时培养学生的团队合作精神。教学重点相似三角形的判定定理3及其应用教学难点相似三角形判定定理3的证明方法.教学过程 新课导入导入一:学校为了改善环境,在一片空地上修建一块
2、三角形草地,图纸如图(1)所示,完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似,你能帮帮他吗?【引导语】根据前面的学习,我们判断三角形相似需要对应边成比例,而图纸中的三角形只知道角的大小,我们只测量角的大小,能否判定三角形相似?这就是本节课的学习任务.导入二:【复习提问】(1)三角形相似的判定定理1和2的内容是什么?(2)用什么方法证明判定定理1和2 ?【师生活动】学生回答问题,对学生出现的问题教师及时纠正,并强调易错点.导入三:观察老师手中的一副三角尺和你手中的三角尺,其中含有相同锐角(30与60或45与45)的两个直角三角尺形状相同吗?它们分别满足什么条件?【导入语】有两个锐角相
3、等的两个直角三角尺相似,那么对于任意两个有两个角相等的三角形是否相似呢?这就是我们今天探究的主要内容.设计意图以生活实例为情景导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣;通过复习三角形相似的判定方法及证明思路,为本节课学习另一个判定定理做好铺垫;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利地实现旧知识到新知识的迁移.新知构建一、 两角分别相等的两个三角形相似思路一【动手操作】(1)同桌两个人分别画出ABC,其中A=37,B=65.(2)分别测量AB,BC的长度(或测量AC,AB的长度),判断两个三角形是否相似.(3)根据操作、测量,猜想判定三角形相似的方法.(4)能证明你的猜想
4、吗?写出已知、求证和证明过程.【教师提示】类比判定定理1,2的证明方法,通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中.(5)用文字语言叙述你的结论,并用几何语言表示.【师生活动】在教师的指导下,学生完成画图、测量、猜想,小组合作交流结果后,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并对学生的板书进行点评.【课件展示】两角分别相等的两个三角形相似.如图所示,已知在ABC和ABC中,A=A,B=B.求证ABCABC.证明:如图所示,在线段AB上截取AD=AB,过点D作DEBC,交AC于点E,则可得ADEABC.DEBC,ADE=B,又B=B,B=ADE,又A=A,AD=AB,AD
5、EABC,ABCABC.【几何语言】如图所示,B=B,A=A,ABCABC.思路二【思考】(1)相似三角形的判定定理1,2的证明思路是什么?(在一个三角形的一边上截取与另一个三角形一边相等的线段,作平行线构造相似三角形,通过证明截得的三角形与已知三角形全等得证)(2)三角形在放大镜的观察下,得到三角形与原三角形是相似的,对应角是不变的,反过来,满足两个对应角相等的三角形是否相似呢?(3)教师用几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.分别测量三角形的三边,得到三角形三边对应的比相等.(4)猜想你观察到的结论,你能证明你的猜想吗?【师生活动】学生思考
6、后小组合作交流,共同完成猜想、证明,学生板书证明过程,教师帮助有困难的学生,对学生的证明过程进行指导,规范书写.【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似.(证明过程、几何语言同思路一)设计意图学生通过动手操作、猜想、归纳、验证等数学活动(思路二教师借助几何画板让学生观察验证),得到三角形相似的判定定理3,并引导学生将文字语言转化为几何语言和符号语言,提高学生分析问题的能力和学习数学的兴趣.二、一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似【思考】(1)证明直角三角形全等的方法有哪些?(SSS,SAS,ASA,AAS,HL)(2)证明直角三角形相似可以用哪些方法?(三边成比例、两边成比例且夹角相等、
7、两角分别相等的两个三角形相似)(3)类比直角三角形全等的判定方法,如果一条直角边和斜边分别成比例,两个直角三角形相似吗?(4)尝试证明你的结论.【师生活动】学生思考回答,作出猜想,小组合作交流证明思路,板书书写过程,教师帮助有困难的学生,并对学生的回答和板书点评.【课件展示】一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.如图所示,在RtABC和RtABC中,C=90,C=90, .求证RtABCRtABC.【教师引导分析】由于三边成比例的两个三角形相似,而已知条件中有两边对应成比例,所以只需证明另一对直角边也成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理,所以可设=k,用勾股定理分别求
8、出BC,BC的值,求得=k,从而得证.证明:设=k,则AB=kAB,AC=kAC.由勾股定理,得BC=,BC=.RtABCRtABC.【追问】你能归纳判定两个直角三角形相似的条件吗?(一个锐角相等或两边成比例)设计意图通过教师设计的问题,学生思考后合作交流,类比直角三角形全等的判定,探索出直角三角形相似的判定方法,学生亲身经历知识的形成过程,体会数学的严谨性,提高分析问题的能力,让学生在探索中使数学思维得到提升.三、例题讲解(教材例2)如图所示,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8.E是AC上一点,AE=5,EDAB,垂足为D.求AD的长.解:EDAB,EDA=90,又C=90,A=
9、A,AEDABC,AD=4.【教师引导归纳】通过证明三角形相似,得到三角形的对应边成比例求线段的长是常用的方法.如图所示,在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,图中共有哪几对相似三角形?并选择其中一对进行证明.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,针对学生的困难进行引导分析,然后学生独立完成,并用文字语言叙述该题的结论.解析由CDAB,得ADC=CDB=90,所以图中共有三个直角三角形,根据直角三角形的两锐角互余,可得A+B=90,A+ACD=90,B+BCD=90,由同角的余角相等,得B=ACD,A=BCD,根据两角分别相等的两个三角形相似易得ACDABC,CDBACB,ACDCB
10、D.解:(1)ACDABC,CDBACB,ACDCBD.(2)答案不唯一.证明ACDABC如下:A+B=90,A+ACD=90,B=ACD,又ACB=ADC=90,ACDABC.【归纳】直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.设计意图通过例题的分析解答,巩固证明三角形相似的判定方法,体会通过证明三角形相似可以证明角相等、线段成比例,也可以计算线段的长,培养学生归纳总结能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.知识拓展(1)在有一组对应角相等的情况下,可以从两个方面选择突破口:寻找另一组对应角相等;寻找两个三角形中夹这个已知角的两条边的比相等.(2)直角三角形斜边上的高
11、把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.(3)若两个直角三角形满足一个锐角相等或两组直角边成比例或斜边和一条直角边成比例,则这两个直角三角形相似.课堂小结1.相似三角形的判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.2.直角三角形相似的判定方法:一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.一个锐角相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似. 巩固练习1、如图C是线段BD上的一点，ABBD.EDBD.ACEC求证：ABCCDEE学生交流，自主完成证明过程证明：ABBD、EDBDABC=CDE=901+A=90ACEC1+2=90A=2ABCCDE2、如图所示,在平行四边形ABCD中,过点A作AEBC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且AFE=B.(1)求证ADFDEC;(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.布置作业教材第42页习题27.2第2,4题.教材第43页习题27.2第7题.板书设计1.两角分别相等的两个三角形相似2.一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似3.例题讲解例1例2
