《自考《数学教育》专业-近世代数习题指导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自考《数学教育》专业-近世代数习题指导（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、自考近世代数练习1及答案一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“”，错的打“”；每小题1分，共10分）1、设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。 （ ）2、设与都是非空集合，那么（ ） 3、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 （ ）4、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（ ）5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。 （ ）6、群的子群是不变子群的充要条件为。 （ ）7、如果环的阶，那么的单位元。 （ ）8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。 （ ）9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 （ ）10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同
2、构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。 （ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（ ）集合中两两都不相同；的次序不能调换；中不同的元对应的象必不相同；一个元的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（ ）在整数集上，； 在有理数集上，；在正实数集上，；在集合上，。3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ ）不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定
3、的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ ）0和； 1和0； 和； 和。5、设和都是群中的元素且，那么（ ）； ； ； 。6、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（ ）6； 24； 10； 12。7、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）的同态核是的不变子群； 的不变子群的逆象是的不变子群；的子群的象是的子群； 的不变子群的象是的不变子群。8、设是环同态满射，那么下列错误的结论为（ ）若是零元，则是零元； 若是单位元，则是单位元；若不是零因子，则不是零因子；若是不交换的，则不交换。9、下列正确的命题是（ ）欧氏环一定是唯一分解环； 主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环
4、； 唯一分解环必是欧氏环。10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（ ）； ； 。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合；，则有 。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则 。3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么 。4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。6、给出一个5-循环置换，那么 。7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为 。8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是 。9、整环的一个元叫做一个素元，如果 。
5、10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果 。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。 3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。 4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。 5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。 五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、下
6、列四个四元置换组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。2、设是模6的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。六、证明题（每小题10分，共40分）1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。2、设为实数集，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。4、设是有限可交换的环且含有单位元1，证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代数试卷参考解答一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题1、。 2、。
7、3、。 4、。 5、变换群。 6、。 7、。 8、一个最大理想。9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、改错题1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立 3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。S=I或S=R4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d。一定有最大公因子；d和d只能差一个单位因子5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等
8、于零的元使得。不都等于零的元近世代数练习2及答案一、（16分）叙述概念或命题1 正规子群；2 唯一分解环；3 代数数；4 鲁非尼-阿贝尔定理二、（12分）填空题1设有限域的阶为81，则的特征 。2已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于 。3一个有单位元的无零因子 称为整环。4如果是一个国际标准书号，那么 。三、（10分）设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。五、（15分）设是四元数体，对H中任意元，定义其共轭。1证明：是一个非负实数；2对，求，和。六、（15分）设，是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。1
9、；2；3七、（10分）设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性。八、（12分）求剩余类加群Z12中每个元素的阶。 近世代数练习2答案一、1若H是群G的子群，且对每个，有，那么H称为是G的正规子群。2设R是个整环，若对于R中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R为唯一分解环。3有理数域上的代数元称为代数数。4如果（特征为0），那么次的一般方程没有根式解。二、132253交换环46三、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。四、设A是任意方阵，令，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都
10、等于0，即：，所以，表示法唯一。五、12，六、1；2；3七、1，；2两个都是偶置换。八、元素01234567891011阶1126431221234612 近世代数练习3一、 判断题（每题1分，共10分）1 G的不变子群N的不变子群N1仍是G的不变子群。（）2 集合的元素间的一个等价关系决定该集合的分类。（）3 任何无零因子的交换环R都是一个域P的子环。（）4 任何主理想环都是欧氏环。（）5 若一个群中，每个元的阶都是2，则该群为ABel群。（）6 一个环的单位必是单位元。（）7 有理数域是整数环的商域。（）8 域上的一元多项式环是欧氏环。（）9 在任意环中，任意两个非零元的特征都相同。（）1
11、0 整数环的特征必为无穷大。（）二、 填空题（每空2分，共20分）1 称环R0的元x为环R上的一个未定元，若由a00+a11+a22+ann=0（aiR）可以推出 。2 若|A|=n，则|2A|= 。3 设A，B是两个集合，其中A=1,2，B=a,b,c，则AB= 。4 设R为整数环，则素数p生成最大理想（p），从而剩余类环R/（p）是 。5 唯一分解环的任何两个元有最大公因子，且两个最大公因子一定是 。6 一个群的不变子群的象是象的 。7 有限集的一个一一变换也叫 。8 在两个环的同态下，零元的象是象的 。9 在一个交换环R中，主理想（a）由集合 构成。10 整环I为主理想环的充要条件是I的每一个理想都是 。三、 选择题（每题2分，共20分）（每个题都给出了四个答案，但只有一个最佳答案，请将最佳答案的代号填在题后的括号中，选错或选出的代号超过一个均不得分，每题2分，共20分）。1 交换群G是指（）。A. ab=ba对任意a、
