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1、第一次课函数一、知识要点1. 函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 2. 两个函数相等：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则，当函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也随之确定. 因此，函数的定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，称这两个函数相
2、等. 3. 求函数的定义域要从以下几个方面考虑：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数的真数大于零；(4)指数函数与对数函数的底数必须大于零且不等于1；(5)函数yx0的定义域是x|xR且x0. 4. 函数的表示法：函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 5. 映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射. 二、典例精析题型一：求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x)2x3，求f(x1)的表达式；(2)已知
3、f(x1)x2x1，求f(x)的表达式；(3)已知f(x)2f(x)3x25x3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)把f(x)中的x换成x1，得f(x1)2(x1)32x1. (2)设x1t，则xt1，代入得f(t)(t1)2(t1)1t2t1，所以f(x)x2x1. (3)由f(x)2f(x)3x25x3，x换成x，得f(x)2f(x)3x25x3，解得f(x)x25x1. 【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数fg(x)的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可，已知fg(x)，求f(x)的解析式，常常是设g(x)t，或者在fg(x)中凑出g(x)，再把g(x)换成x. 【变式训
4、练1】已知f()，求f(x). 【解析】设u，则u1 (u1). 由f(u)11(u1)(u1)2u2u1. 所以f(x)x2x1 (x1). 题型二：求函数的定义域【例2】(1)求函数y的定义域；(2)已知f(x)的定义域为2，4，求f(x23x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只要即解得3x0或2x3. 故所求的定义域为(3，0)(2，3). (2)依题意，只需2x23x4，解得1x1或2x4. 故f(x23x)的定义域为1，12，4. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解. 对于抽象函数fg(x)的定义域要把g(x)当作f(x)
5、中的x来对待. 【变式训练2】已知f(x)的定义域为(1，1)，求函数F(x)f(1x)f()的定义域. 【解析】由得1x2，所以F(x)的定义域为(1，2).题型三：由实际问题给出的函数【例3】 用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域. 【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB2x，设宽为a，则有2x2axl，即axx，半圆的半径为x，所以y+(xx)2x(2)x2lx. 由实际意义知xx0，因为x0，解得0x. 即函数y(2)x2lx的定义域是x|0x
6、. 【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义. 如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是xR，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约. 题型四：分段函数【例4】 已知函数求(1) f(1)f(1)的值；(2)若f(a)1，求a的值；(3)若f(x)2，求x的取值范围. 【解析】(1)由题意，得f(1)2，f(1)2，所以f(1)f(1)4. (2)当a0时，f(a)a31，解得a2；当a0时，f(a)a211，解得a0. 所以a2或a0. (3)当x0时，f(x)x32，解得1x0；当x0时，f(x
7、)x212，解得x1. 所以x的取值范围是1x0或x1. 【点拨】分段函数中，x在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同. 因此，分段函数往往需要分段处理. 第二次课函数的单调性一、知识要点1. 增函数(减函数)的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则说函数f(x)在区间D上是增函数. 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则说函数f(x)在区间D上是减函数. 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区
8、间. 2. 判定函数为单调函数的常用方法：(1)图象法：函数f(x)在区间D上的图象呈上升趋势时为增函数，呈下降趋势时为减函数；(2)利用函数单调性定义判断函数的单调性：在给定的区间上任取两个自变量的值x1、x2，作差比较f(x1)与f(x2)的大小，从而得出函数的单调性；(3)复合函数单调性的判断：设yf(u)，ug(x)(xa，b)都是单调函数，则yfg(x)的单调性由“同增异减”来确定；二、典例精析题型一：函数单调性的判断或证明【例1】讨论函数f(x)(a)在(2，)上的单调性. 【解析】设x1，x2为区间(2，)上的任意两个数且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为x1(2，)，x2(
9、2，)，且x1x2，所以x1x20，x120，x220，所以当a时，12a0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在(2，)上为减函数；当a时，12a0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在(2，)上是增函数. 【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x1，x2在给定区间内的任意性. 另外，本题可以利用导数来判断. 【变式训练1】讨论函数f(x)ax2+bx+c的单调性. 题型二：函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间. (1)y|x1|；(2)yx22|x1|；(3)y2. 【解析】(1)y|x1|所以此函数的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(，1). (2)yx22|x1
10、|所以函数的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(，1). (3)由于tx24x3的单调递增区间是(，2)，单调递减区间是(2，)，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是(，2)，单调递减区间是(2，). 【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出. 题型三：函数单调性的应用【例3】已知函数f(x)的定义域为1，1，且对于任意的x1，x21，1，当x1x2时，都有0. (1)试判断函数f(x)在区间1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式f(5x1)f(6x2). 【解析】(1)当x1，x21，1，且x1x2时，得f(x1)f(x2)，所以函数f(
11、x)在区间1，1上是增函数. (2)因为f(x)在1，1上是增函数. 所以，由f(5x1)f(6x2)知，所以0x，所求不等式的解集为x|0x. 【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域. 【例4】若f(x)x22ax3与g(x)在区间1，2上都是减函数，求a的取值范围. 【解析】若f(x)x22ax3在区间1，2上是减函数，则a1；若g(x)在区间1，2上是减函数，则a0. 所以，a的取值范围为0a1. 【点拨】二次函数的单调区间主要依据其开口方向和对称轴的位置来确定. 第三次课函数的奇偶性一、知识要点1. 函数的奇偶性：对于函数f
12、(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 2. 奇(偶)函数的图象特征：(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. 3. 函数的周期性：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)成立，那么函数f(x)就叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期；(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
13、二、典例精析题型一：函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)(x1)；(2)f(x)；(3)f(x) (4)f(x)+. 【解析】(1)由0，得定义域为1，1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. (2)由得定义域为(1，0)(0，1)，因为f(x)=，f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数. (3)当x0时，x0，f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0时，x0，f(x)(x)2xx2xf(x). 所以对任意x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，故f(x)为奇函数. (4)由得x 或x，所以函数f(x)的定义域为，又因为对任意的x，x，且f(x)f(x)
14、f(x)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数. 【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形. 题型二：由奇偶性的条件，求函数的解析式【例2】若函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，求f(x)的解析式. 【解析】因为函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，所以f(0)0，从而得m0；又f()f()0，得n0. 所以f(x) (1x1). 【变式训练1】已知定义域为R的函数f(x)是奇函数. 求a，b的值. 【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即0，得b1，所以f(x). 又由f(1)f(1)，知，得a2. 故a2，b1. 题型三：函数奇偶性的应用【例3】
