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1、北京市海淀区2019届高三第一学期期中数学（文）试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，若，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据2A即可得出2a0，从而可解出a的取值范围【详解】2A；2a0；a2；a的取值范围为2，+）故选：C【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是A. B. f(x)=lnx C. f(x)=x3 D. f(x)=sinx【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+）的最值情况，综合即可得答案
2、【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2x，f（x）=（x）2（x）=x2+xf（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（x）=ln|x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+）上存在最小值1；故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题3.函数满足，则的值是A. 0 B. 12 C. 32 D. 1【答案】A【解析】【分析】由已知求得，进一步得到的值【详解】由f（x
3、）=sin（x+）满足，得sin（）=1，即=，kZ则=，kZf（x）=sin（x+）=sin（x+）=sin（x+）=sin=0故选：A【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题4.已知向量，则向量，b夹角的大小为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小【详解】设向量，夹角的大小为，0，向量=（1，2），=（3，1），cos=22，所以故选：B【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题5.已知函数，的图像都经过点，则ab的值为A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D【解析】【分析】函数f（
4、x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b即可得出【详解】函数f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点，loga14=2，b14=2，解得a=，b=16则ab=8故选：D【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.在中，“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A. B. C. D
5、. 【答案】C【解析】【分析】数列an单调递增an+1an，可得：n+1+n+an，化简解出即可得出【详解】数列an单调递增an+1an，可得：n+1+n+，化为：an2+na2故选：C【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.已知向量满足a+b+c=0，且，则、中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的【答案】A【解析】【分析】可在的两边分别乘可得出 ，再根据即可得到，这样整理即可得出【详解】；，；，；，；故选：A【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.角的终边经过点，则 _。【答案】【解析
6、】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan的值【详解】角的终边经过点P（4，3），x=4，y=3，则tan=，故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题10.等差数列中，a1=5，a2+a5=0，则an中为正数的项的个数为_。【答案】 3【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式求出an，然后利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】等差数列an中，a1=5，a2+a5=0，5+d+5+4d=0，d=2，an=52（n1）=2n+7，a10，a20，a30，n4时，an0，则an中为正数的项的个数为3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解
7、，属于基本运算的应用11.已知，是不共线的两个向量， ，则_。【答案】【解析】【分析】由已知可知，=，代入即可求解【详解】，是不共线的两个向量，=，=，则=，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，属于基础试题12.函数在区间上的最大值为_。【答案】 2【解析】【分析】直接利用三角函数的性质求出结果【详解】由于：x0，所以：，则：，则，所以函数的最大值为2，故答案为：2【点睛】本题考查的知识要点：三角函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型13.能说明“若存在，使得 ，则不是偶函数”为假命题的一个函数是_。【答案】【解析】【分析】写出一个函数，使得函数是偶函数，但
8、是，满足存在x0，使得f（x0）=f（x0）的命题，然即可得到结果【详解】“若存在x0，使得f（x0）=f（x0），则f（x）不是偶函数”为假命题，例如：f（x）=x21当x=1时，满足f（1）=0，f（1）=0，满足存在x0，使得f（x0）=f（x0），但是函数f（x）是偶函数，故答案为：f（x）=x21【点睛】本题考查命题是真假，函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查14.已知函数（1）当1时，函数的值域是_；（2）若函数的图像与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）分别求解y=x2+2x，x1，和y=x，x1的值域，可得f（x）的值域；
9、（2）作出分段函数的图象数形结合，可得实数a的取值范围【详解】（1）当a=1时，即当x1时，f（x）=x2+2x=（x1）2+11，当x1时，f（x）=x1，综上所述当a=1时，函数f（x）的值域是R，（2）由f（x）=x2+2x=（x1）2+1，其对称轴x=1，当a1时，根据f（x）=x2+2x的图象，存在直线y=a没有交点；当0a1时，根据f（x）=x2+2x的图象和f（x）=x，存在直线y=a只有一个交点，当a0时，根据f（x）=x2+2x的图象和f（x）=x，存在直线y=a没有交点；要使函数f（x）的图象与直线y=a只有一个公共点，则实数a的取值范围是0，1；故答案为：R；0，1【点睛
10、】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.已知函数.（）求f(0)的值；（）求函数f(x)的单调递增区间.【答案】（1）1 ； （2）.【解析】【分析】（）将x=0带入，即可求f（0）的值；（）利用二倍角公式化简，利用三角函数的单调性即可求解函数f（x）的单调递增区间【详解】（）函数当x=0时，可得f（0）=（）由函数=cos2x-sin2xcosx-sinx=sinx+cosx=2sin（x+）令x+得：xx，函数f（x）的单调递增区间，），kZ【点睛】本题主要考查三角函数的图象和
11、性质，化简能力和单调性的求法，注意定义域范围 16.设是等比数列 ，其前n项的和为 ，且, . （）求的通项公式；（）若，求n的最小值.【答案】（1）； （2）6 .【解析】【分析】（）由已知，结合等比数列的通项公式可求a1，q进而可求an.（）由等比数列的求和公式可求Sn，代入解不等式可求n的范围【详解】（）设的公比为q因为，所以所以q=a2a1=2又，所以所以an=a1qn-1=2n-1.（）因为所以由，得，即2n-1493解得，所以n的最小值为6.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题17.如图，在四边形ABCD中， .（）求的值；（）若是的角平分线，
12、求DC的长.【答案】（1） ； （2）5 .【解析】【分析】（）由已知及余弦定理可得cosB，利用诱导公式即可计算得解cosD的值，（）由已知可得DAC=BAC，根据正弦定理，结合sinB=sin（D）=sinD，可求DC=BC即可得解DC的值【详解】（）在ABC中，AB=4，BC=5，AC=7，由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=，B+D=，cosD=cos（B）=cosB=（）AC是DAB的角平分线，DAC=BAC，由正弦定理，在ABC中，有，在ADC中，有，sinABC=sinDAC，且sinB=sin（D）=sinD，DC=BC，DC=5【点睛】本题主要考查了余弦定理，诱导
13、公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题18.已知函数. （）当时，求函数的单调区间；（）求证：直线是曲线的切线；（）写出的一个值，使得函数有三个不同零点（只需直接写出数值）【答案】（1）递增区间为，单调递减区间为； （2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（）当a=1时，求f（x）的导数f（x），由f（x）0，得f（x）单调递增；f（x）f（x）单调递减；（）由f（x）=3x2+2x+a，令f（x）=）=3x2+2x+a=a，解得x1=0，x2=-23，而f（0）=1，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=ax1，由此可得，无论a为何值，直线y=ax1是曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线；（）取a的值为2【详解】（）函数fx=x3+x2+ax-1的定义域为当a=-1时，fx=x3+x2-x-1所以令fx=0，得，x2=13当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x-1-1,13fx+0-0+极
