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1、保三角形问题第一题1第二题3第三题4第一题13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”（I）判断，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数” 1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”. 3分对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为
2、三边长，故不是“保三角形函数” 4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数” 8分（III）的最大值为 9分一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1），此时，同理，故，同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长（2）此时，可得如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；时，同样，由在上的单
3、调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长故时，是“保三角形函数”综上，的最大值为第二题第三题一道调研试题的解法及思考江苏泰兴市第二高级中学（225400）叶玉明题目：（江苏南通2009年高三第一次调研测试）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”. （1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论： f(x) ； g(x)sinx (x(0，). （2）若函数h(x)lnx (xM，)是保三角形函数，求M的最小值.
4、（1）【答】f(x) 是保三角形函数，g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数.【证明】 f(x) 是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a，b，c，则abc，bca，cab，f(a) ，f(b) ，f(c) . 因为()2a2bc2()2，所以.同理可以证明：，. 所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x) 是保三角形函数. g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长. 而sin1，sin，不能作为一个三角形的三边长. 所以g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数. (2)【解】M的最小值为2. (
5、i)首先证明当M2时，函数h(x)lnx (xM，)是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a，b，cM，)，且abc，bca，cab，则h(a)lna，h(b)lnb，h(c)lnc.因为a2，b2，abc，所以(a1)(b1)1，所以ababc，所以lnablnc，即lnalnblnc.同理可证明lnblnclna，lnclnalnb.所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长. 故函数h(x)lnx (xM，)，M2)，是保三角形函数. (ii)其次证明当0M2时，h(x)lnx (xM，)不是保三角形函数. 当0M2时，取三个数M，M，M2M，)，因为0M2，所以MM2MM2，所以
6、M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnMlnM2lnMlnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h(x)lnx 不是保三角形函数. 所以，当M2时，h(x)lnx (xM，)不是保三角形函数. 综上所述：M的最小值为2.思考1、如果是定义在上的周期函数，且值域为，则是不是“保三角形函数”？ 设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数” 思考2、由解法可知不是保三角形函数，但是在定义域的某个区间上能不能成为保三角形函数？比如是保三角形函数，求的最大值。 （可以
7、利用公式） 分析：的最大值为 一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1），此时，同理，故，同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长（2）此时，可得如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；时，同样，由在上的单调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长故时，是“保三角形函数”综上，的最大值为第四题 例2 设，若对任意实数，都存在以为边的三角形，则实数的取值范围是（ ）. . . .以上都不对解：第一次分离常数将函数变形为，令，再次分离常数得，易知，下面分类讨论：（1） 当时，若构成三角形的三边，则有，即，得.（2） 当时，则由得综上可知实数的取值范围是，选江苏苏锡常镇四市2013界高三教学情况调研（一）14设函数的定义域为，且，对于任意，若，是直角三角形的三条边长，且，也能成为三角形的三条边长，那么的最小值为 保三角形函数研究专题 Page 7 of 7
