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1、2 含参量反常积分,与函数项级数相同, 含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件下, 含参量反常积分具有连续性, 可微性, 可积性. 含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.,返回,四、含参量无界函数的反常积分,三、含参量反常积分的性质,二、含参量反常积分一致收敛性的判别,一、含参量反常积分的一致收敛性,一含参量反常积分一致收敛性,或称含参量反常积分.,定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对,即,充要条件是,的充要条件是,例1 讨论含参量反常积分,的一致收敛性.,于是,而对于任何正数 , 有,二含参量反常积分一
2、致收敛性的判别,定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1),证 必要性,因此,则令,例2 证明含参量反常积分,不一致收敛.,使得,使得,即,收敛之间的联系有下述定理.,关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致,函数项级数,就有,现取,使得,一般地, 取,现在考虑级数,注 由定理19.8, 含参量反常积分可看作连续型的函,函数项级数.,它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿, 我们,下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法. 它,用柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克雷,判别法. 阿贝耳判别法的证明留给读者.,魏尔斯特拉斯 M 判别法 设有函数 g(y), 使得,证 由于
3、,因此,狄利克雷判别法 设,则含参量反常积分,证,上一致收敛.,阿贝耳判别法 设,(i),则含参量反常积分,例3 证明含参量反常积分,证 由于对任何实数 y 有,例4 证明含参量反常积分,故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在,上一致收敛.,恒有,时,不一致收敛.,三、含参量反常积分的性质,定理19.9 (含参量反常积分的连续性),在 J 上一致收敛, 则 I (x) 在 J 上连续.,函数项级数,连续性定理, 函数 I (x) 在 J 上连续.,这个定理也证明了在一致收敛的条件下, 极限运算,与积分运算可以交换:,定理19.10 (含参量反常积分的可微性),由定理19.3推得,项级数,
4、在 J上一致收敛, 因此根据函数项级数的逐项求导,定理, 即得,或写作,最后结果表明在定理条件下, 求导运算和积分运算,可以交换.,上可积.,又由定理19.9的证明中可以看到, 函数项级数(13)在,定理19.11 (含参量反常积分的可积性) 设 在,这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交,换性. (17)式又可写作,这就是(16)式.,根据函数项级数逐项求积定理, 有,(ii)积分,中有一个收敛. 则必有,也收敛.,证 不妨设 (18) 中第一个积分收敛,由此推得,根据条件(i)及定理19.11, 有,由条件(ii), 对于任给的,有,把这两个结果应用到(20)式, 得到,使得当
5、时有,例6 计算,据M判定法, 含参量反常积分,上连续, 根据定理19.11交换积分(21),的顺序, 积分I 的值不变. 于是,例7 计算,解 在上例中, 令 b = 0, 则有,又由(22)式,例8 计算,收敛.,由于,考察含参量反常积分,综合上述结果由定理19.10即得,于是有,四、含参量无界函数的反常积分,为含参量x的无界函数反常积分, 或简称为含参量反,在 上一致收敛的定义是:,参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法, 并讨,读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含,含参量无界函数反常积分的也可转换为含参量有界,论它们的性质.,函数反常积分.,*例9 讨论含参量无界函数反常积分,的一致收敛区间.,(i),敛.,为此设,以,复习思考题,对吗?,
