《数学人教版九年级上册牧童放牧牛”问题的遐想》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学人教版九年级上册牧童放牧牛”问题的遐想（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初三复习课:,张景才,关于 “牧童放牛”问题的遐想,关于“牧童放”牛问题,“牧童放牛”问题是数学问题中的经典题目,主要转化成“两点之间线段最短”问题,在最近几年的中招试题及竞赛中,该问题经过不同的转化及演变,一一浮现在我们的眼前,使我们目不暇接,顾此失彼.因此,我们有必要作一下总结,找出其中的规律,以达到举一反三、触类旁通的效果。,一、母题：,一位牧童，从 A 地出发，赶着牛群到河边m饮水，然后到 B地(家），,牧场,家,河,A,B,问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？,m,A,B,P,P,P,a,P,?,P,A,B,A/,a,B/,“牧童放牛”问题转化成数学问题就是： 已知某直线
2、同侧有两点，欲在直线上求 作一点，到这两点的距离之和最短.（板书）,解决“放牛问题”的一般方法,作出其中一个定点关于某直线 的对称点，连结对称点与另一个定点 与已知直线有一个交点。这个交点即为所求。,（2006 河南）在ABC中，AC=BC=2，ACB=90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_.,A,B,C,D,E,2,2,牧童放牛”问题在三角形中的应用：,“牧童放牛”问题在梯形中的应用：,例：如图，梯形ABCD中，ABCD, AB=CD=AD=1, B=60,直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值是_.,A,B,C,D,M,N,P
3、,“牧童放牛”问题在菱形中的应用：,例：如图，在边长为6的菱形ABCD中， DAB=60,E为AB的中点，P是AC上一动点，则PE+PB的最小值是_.,A,B,C,D,6,60,E,P,P,牧童放牛”问题在正方形中的应用：,例：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，P是AC上一动点，则 PD+PM的最小值是_.,M,8,2,M,P,N,6,8,10,“牧童放牛”问题在圆中的应用：,例：如图，A是半圆上一个三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，O的半径为1，则PA+PB的最小值是_。,M,N,A,B,O,P,A,B,B,P,O,1,1,“牧童放牛”问题在一次函数中的
4、应用：,例：在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x,0)到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时，求点M的坐标 。,0,x,y,Q,(2,1),P,(5,5),M,M,(x,o),（2008 福建）,“牧童放牛”问题在二次函数中的应用：,A 、B两点， 点C（0 ,-2) 在 y 轴上。 (1)、求抛物线顶点D的坐标。 (2)、有一动点Q在线段AB上运动，QCD的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点Q的坐标；不存在，说明理由。,A,B,C,D,-2,(1,-1),Q,D,Q,(1,1),x,y,生活问题中的应用,要在街道旁修建一个奶站，向居民
5、区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？,A,3,B,(6,5),0,x,y,A,P,街道,（0，-3）,C,6,8,10,小明根据实际情况，以街道所在直线为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是_.,P,（2008深圳）,小结：,1、“牧童放牛”问题的实质是： 可转化为“已知在某直线同侧有两点，欲在直线上求作一点，使其到这两点的距离之和最小”的数学问题.,2、“牧童放牛”问题的数学原理：两点之间线段最短。,3、解答“牧童放牛”问题的一般方法、步骤： （1）作图：作出其中一个定点关于某直线 的对称点，连结对称点与另一个定点 与直线有一个交点。这个交点即为所求。 （2）利用轴对称的性质和两点之间线段最短证明。 （3）求值：利用已知条件求出最短距离。,谢谢,张景才,
