《数学人教版八年级上册中考复习专题：最短路径问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学人教版八年级上册中考复习专题：最短路径问题（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017年中考复习专题：,澄江六中 陈家荣,2017年6月,最短路径问题,中考题中出现最短路径问题，往往都涉及具体的计算和求值，需要结合勾股定理、平面直角坐标系、函数与方程知识，从而得出定量的结果。解决这类问题的关键，首先要牢固掌握基础知识、基本思想方法和基本问题模型，熟悉最短路径问题的常考题型。,中考导航,【教学知识点】： 1、两点之间，线段最短； 2、垂线段最短（构建“对称模型”实现转化）； 3、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。 【能力要求】： 1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗
2、透数学建模的思想. 【情感要求】： 1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学,教学目标,教学过程,一、基础知识 1、两点之间，线段最短 问题1：如图1，定点A,B之间有4条路径L1、L2、L3、L4，问哪条路径最短？为什么？,理由：显然，L3最短。因为，两点之间，线段最短（公理）。,问题2：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，为什么？,理由：“三角形两边之和大于第三边”事实上就是“两点之间，线段最短”这一公理的直接应用。在“三角形两边之和大于第三边”的不等式两端同时减去一边，可得到“三角形两边之差小于第三边”。,
3、2、点到线的最短路径问题 问题1：如图2，P点到线段AB有三条路径L1、L2、L3，问哪条路径最短？为什么？,理由：显然，L2最短。因为，垂线段最短（公理）,二、基本思想方法：化归 （一）、平面问题中的最短路径问题常用轴对称、平移、旋转（包括中心对称）等保距变换，化折为直，化曲为直加以解决。 （二）、立体问题平面化 1、多面体表面上两点间的最短路径问题，将其转化为平面内两点间的最短路径问题加以解决。 2、旋转体表面上两点间的最短路径问题，常将旋转体表面展开成平面图形，用平面内两点间的最短路径问题加以解决。,三、基本问题模型,1、抽水站选址问题: （1）、两点在直线异侧（原理：两点之间，线段最短
4、） 例1、如图3：点A,B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。,解：连接AB交直线L于点P,点P为所求点。此时，PA+PB的最小值是AB线段的长。 理由：“两点之间，线段最短”。,（2）、两点在直线同侧（原理：线段最短+1次轴对称） 练习1、如图4：A、B在直线L同侧，在L上求一点P，使PA+PB最小。,解：作点B关于直线L的对称点B，连接AB交直线L于P点，P点即为所求点。 理由： B、B关于直线L对称，有PB=PB PA+PB=PA+PB=AB(线段最短） PA+PB最小。（两点之间，线段最短）,2、造桥修路问题,（1）、两点之间，线段最短 + 平移 例2、如图5，村庄A、
5、B位于一条小河的两侧，若河岸mn，现在要建设一座与河岸垂直的桥MN，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最短？,解：将A点向下平移至A，使AA=河宽，连接AB交直线n于N,过N作NM直线m于M,连AM，线段MN即为所架桥的位置。,理由：“两点之间，线段最短”。AM+MN+NB的值最小，最小值为AB+MN.,（2）、平移 + 轴对称 练习2、如图，在直线L上求两点M、N，使MN=a，且使 AM+MN+NB的值最小。,M、N即为所求点，此时AM+MN+NB最短。,理由：由作图知AM=AN=AN,AM+MN+NB=AB+MN最小（两点之间，线段最短）,3、立体图形中的最短路径问题：,例3、如图是
6、一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。,理由：,所以，蚂蚁爬行的最短路径是,练习3、有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(的值取3)。,解：将圆柱的侧面展开如右图，可知蚂蚁爬行的最短路径是线段AB。 BB=圆柱高=12cm，AB=底面周长的一半 = 3。 AB 15 答：蚂蚁爬行的最短路程约为15厘米。,四、中考题型训练,1、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点，DNM
7、N的最小值为 。,解：DN+MN=BM,DM=2，则CM=6,在RTBCM中，,所以，DN+MN的最小值是10,10,2、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD交OA于M，交OB于N，若CD18cm，则PMN的周长的最小值为_。,解： P、C关于直线OA对称，P、D关于直线OB对称, CM = PM, DN = PN, PMN周长 = PM + MN + PN = CM + MN + DN = CD = 18cm, PMN周长的最小值是18cm （两点之间，线段最短）,18cm,3、已知，如图DE是ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC5，BC8，则AEC
8、的周长为_。,4、如图，直线l是第一、三象限的角平分线 实验与探究： （1）、由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（2，5）关于 直线l的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ； 归纳与发现： （2）、结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标 为 ；,B,解： DE垂直平分AB BE=AE,AEC的周长=AE+CE+AC=BE+CE+AC=BC+AC=8+5=13,13,C,(5,-2),(3,5),(b , a),运用与拓广,（3）已知两点D（1，3）、E（1
9、，4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标。,解：作点E关于直线L的对称点E,连接ED交直线L于点Q,点Q即为所求点。,E,Q,此时，QD+QE=ED(两点之间，线段最短）,点Q的坐标为（-2，-2),5、如图，抛物线 的对称轴是直线X= -1 且经过A（1,0）和C（0,3）两点，与x轴的另一个交点为B 。 （1）、在对称轴x= -1上找一点N，使点N到点A、C的距离之和最小，求点N的坐标，并求出NA+NC的最小值。,解：抛物线的对称轴是直线X=-1，A(1，0),知B(-3，0), A、B关于直线X=-1对称，连接BC交对称轴于N, 点N即为所求点。,N,连接AN,NA+NC=BC最短。,设BC解析式为y=kx+b过B、C,-3k+b=0,b = 3,-3k+b=0,解得k=1，b=3,所以，BC解析式为y=x+3,当x=-1时，y=2，所以，N点坐标为（-1,2）, NA+NC的最小值是, NA+NC的最小值是,五、课时小结,这节课我们利用“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、“勾股定理和它的逆定理”解决了生活中的几个最短路径问题。更重要的是通过平移、旋转、轴对称等图形变换把实际问题抽象成数学模型，用数学建模思想提高解决实际问题的能力。,六、课后作业：完成中考训练题4、5两题。,
