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1、21.2.3 因式分解法,温故而知新,1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?,2.什么叫分解因式?,把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.,直接开平方法,配方法,x2=a (a0),(x+m)2=n (n0),公式法,分解因式的方法有那些?,(1)提取公因式法:,(2)公式法:,(3)十字相乘法:,am+bm+cm=m(a+b+c).,a2-b2=(a+b)(a-b), a22ab+b2=(ab)2.,x2+(a+b)x+ab=,(x+a)(x+b).,根据物理学规律,如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛,那么经过 x s 物体离地面的高度(单位:m)为,设
2、物体经过 x s 落回地面,这时它离地面的高度为 0 ,即,根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面?(精确到 0.01 s),提示,解:,配方法,公式法,解:,a = 4.9,b =10,c = 0,b24ac = (10)244.90=100,因式分解,如果a b = 0,那么 a = 0或 b = 0。,两个因式乘积为 0,说明什么,或,降次,化为两个一次方程,解两个一次方程,得出原方程的根,这种解法是不是很简单?,可以发现,上述解法中,由到的过程,不是用开方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法,以上解
3、方程 的方法是如何使二次方程降为一次的?,讨论,以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的?,可以发现,上述解法中,由到的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.,提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0 ”,分解因式法解一元二次方程的步骤是:,2. 将方程左边因式分解为AB;,3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.,4. 分别解这两个一元一次方程,它们的根就
4、是原方程的根.,1.将方程右边等于0;,例3 解下列方程:,解:(1)因式分解,得,于是得,x20或x1=0,x1=2,x2=1.,(2)移项、合并同类项,得,因式分解,得 ( 2x1)( 2x1 )=0.,于是得,2x1=0或2x1=0,(x2)(x1)=0.,1.解下列方程:,解: 因式分解,得,(1) x2+x=0,x ( x+1 ) = 0.,得 x = 0 或 x + 1 =0,,x1=0 , x2=1.,解:因式分解,得,练习,解:化为一般式为,因式分解,得,x22x+1 = 0.,( x1 )( x1 ) = 0.,有 x 1 = 0 或 x 1 = 0,,x1=x2=1.,解:
5、因式分解,得,( 2x + 11 )( 2x 11 ) = 0.,有 2x + 11 = 0 或 2x 11= 0,,解:化为一般式为,因式分解,得,6x2 x 2 = 0.,( 3x 2 )( 2x + 1 ) = 0.,有 3x 2 = 0 或 2x + 1 = 0,,解:变形有,因式分解,得,( x 4 ) 2 ( 5 2x )2=0.,( x 4 5 + 2x )( x 4 + 5 2x ) = 0.,( 3x 9 )( 1 x ) = 0.,有 3x 9 = 0 或 1 x = 0,,x1 = 3 , x2 = 1.,2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,
6、求小圆形场地的半径,解:设小圆形场地的半径为r,根据题意 ( r + 5 )2=2r2.,因式分解,得,于是得,答:小圆形场地的半径是,分解因式法解一元二次方程的步骤是:,1. 将方程左边因式分解,右边等于0;,2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.,3. 分别解两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.,小结:,用因式分解法解一元二次方程的步骤,1. 方程右边化为_。 2. 将方程左边分解成两个_的乘积。 3. 至少_因式为零,得到两个一元一次方程。 4. 两个_就是原方程的根。,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,AB = 0,( A、B 表示两个因式),A = 0
7、 或 B = 0,(2),(3)x24 = 0,(4)(3x1)25 = 0,(1)2x24x 2 = 0,(1)2x24x 2 = 0, x1 =,解:因式分解,得,2 (x1) 2,x1 = 0,= 0,或,x2 = 1,x1 = 0,分解因式的方法有那些?,(1)提取公因式法:,(2)公式法:,am+bm+cm=m(a+b+c).,a2-b2=(a+b)(a-b), a22ab+b2=(ab)2.,(2),解:移项,得,因式分解,得,x2 = 0,或,3x5 = 0, x1 =2 ,,x2 =,(3)x24 = 0,解:因式分解,得,(x2),x2 = 0, x1 = 2,,(x2),=
8、 0,或,x2 = 0,x2 = 2,(4)(3x1)25 = 0,= 0,或,解:因式分解,得,你学过一元二次方程的哪些解法?,说一说,因式分解法,开平方法,配方法,公式法,你能说出每一种解法的特点吗?,方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a0),开平方法,1.化1:把二次项系数化为1;,2.移项:把常数项移到方程的右边;,3.配方:方程两边同加一次项系数 一半的平方;,4.变形:化成,5.开平方,求解,“配方法”解方程的基本步骤,一除、二移、三配、四化、五解.,用公式法解一元二次方程的前提是:,公式法,1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). 2
9、.b2-4ac0.,1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;,因式分解法,2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.,因式分解法解一元二次方程的一般步骤:,一移-方程的右边=0;,二分-方程的左边因式分解;,三化-方程化为两个一元一次方程;,四解-写出方程两个解;,请用四种方法解下列方程: 4(x1)2 = (2x5)2,比一比,结论,先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;,3.公式法:,总结:方程中有括号时,应先用整体思想考虑有没有简单方法,若看不出合适的方法时,则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。, x2-3x+1
10、=0 3x2-1=0 -3t2+t=0 x2-4x=2 2x2x=0 5(m+2)2=8 3y2-y-1=0 2x2+4x-1=0 (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 ; 适合运用因式分解法 ; 适合运用公式法 ; 适合运用配方法 .,一般地,当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0),应选用直接开平方法; 若常数项为0( ax2+bx=0),应选用因式分解法; 若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0),先化为一般式,看一边的整式是否容易因式分解,若容易,宜选用因式分解法,不然选用公式法; 不过当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法也较简单。,我的发
11、现,用最好的方法求解下列方程 1)(3x-2)-49=0 2)(3x-4)=(4x-3) 3) 4y=1 y,选择适当的方法解下列方程:,谁最快,选用适当的方法解一元二次方程,1.解一元二次方程的方法有: 因式分解法 直接开平方法 公式法 配方法, 5x2-3 x=0 3x2-2=0 x2-4x=6 2x2-x-3=0 2x2+7x-7=0,2.引例:给下列方程选择较简便的方法,(运用因式分解法),(运用直接开平方法),(运用配方法),(运用公式法),(运用公式法),(方程一边是0,另一边整式容易因式分解),( ( )2=C C0 ),(化方程为一般式),(二次项系数为1,而一次项系为偶数),
12、 公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用,但不一定是最简单的,因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法,若不行,再考虑公式法(适当也可考虑配方法),2、用适当方法解下列方程 -5x2-7x+6=0 2x2+7x-4=0 4(t+2 )2=3 x2+2x-9999=0 (5) 3t(t+2)=2(t+2),小结:,ax2+c=0 =,ax2+bx=0 =,ax2+bx+c=0 =,因式分解法,公式法(配方法),2、公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用,但不一定 是最简单的,因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法,若不行,再考虑公式法(适当也可考虑配方法),3、方程中有括号时,应先用整体思想考虑有没有简单方法,若看不出合适的方法时,则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,1、,直接开平方法,因式分解法,配方法,公式法,因式分解法,将二次方程化为一元方程,降次,先配方,再降次,直接利用求根公式,先使方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0,所有一元二次方程,所有一元二次方程,某些,